Demostrar $\sum^{\infty}_{n=1} \frac{a_{n+1}-a_{n}}{a_{n}}=\infty$ por un aumento de la secuencia de $a_n$ de los enteros positivos

Question

El $a_n$'s son enteros positivos, y el aumento de: $0< a_1 < a_2 < \cdots$, el problema nos pide demostrar que: $$ \sum^{\infty}_{n=1} \frac{a_{n+1}-a_{n}}{a_{n}}=\infty $$ Mientras que yo he comprobado los resultados para varias series, como $a_n = n$, $a_n = n^2$, $a_n = n^p$, o $a_n = p^n$ tipo de cosas, no sé cómo demostrar este resultado general. Una sugerencia se agradece. Gracias tíos!

Answer 1

Nunca pensé que podría responder a una pregunta formulada por un superhéroe! Yo aconsejaría a D. Hombre de Hierro a utilizar el siguiente bien conocido teorema:

Deje $\{x_i\}$ ser una secuencia de números reales positivos. A continuación, el producto

$$\prod_{i=1}^\infty (1+x_i)$$

converge si y sólo si la serie

$$\sum_{i=1}^\infty x_i$$

converge.

En el caso presente caso, la notificación que

$$1+\frac{a_{i+1}-a_i}{a_i} = \frac{a_{i+1}}{a_i}$$

así que los productos parciales de la infinita producto telescopio, para dar a $a_{n+1}/a_1$, lo que tiende a $+\infty$ por supuesto. Por lo tanto, la serie de $\sum \frac{a_{i+1}-a_i}{a_i}$ diverge.

Comentario de la serie es análoga a la integral $$\int_0^\infty df/f$$ where $f$ is a positive function. Of course, this integral equals $\varinjlim_{x \to \infty} \log (f(x)/f(0))$, which is $+ \infty$ if $f \to \infty$.

Answer 2

Tenemos $$\sum_{i=1}^{n} \frac{a_{i+1}-{a_i}}{a_i} \geq \sum_{i=1}^{n}\int_{a_i}^{a_{i+1}}\frac{1}{x}\rm{d}x=\ln\left(\frac{a_{n+1}}{a_1} \right )$$ tomando $n\rightarrow \infty$ obtenemos el resultado.