Cómo resolver la integral definida usando u-sustitución? (difícil)

Question

He estado tratando de resolver el siguiente problema de todos los días?

$$∫\frac{(9x^4\cdot\sin(9x))}{(1+x^8)}dx$$

He hecho

$$u=\sin(9x)$$

pero realmente no estoy llegando a ningún lado con eso. Cualquier tipo de información o de orientación sería muy apreciada!

EDIT: el intervalo [-pi/2, pi/2]

Answer 1

Esto fue escrito antes de la edición dice que la integral tiene límites.

Este es un verdadero monstruo, seguro.

Lo que usted podría hacer es el uso parcial de la fracción de descomposición escribir $$\frac{9x^4}{1+x^8}=\sum_{i=1}^8 \frac{A_i}{x-r_i}$$ (divertirse !) y entonces el problema se reduce a $$\int\frac{(9x^4\cdot\sin(9x))}{(1+x^8)}\,dx=\sum_{i=1}^8 A_i\int \frac{\sin(9x)}{x-r_i}\,dx=\sum_{i=1}^8 A_i I_i$$ Now, consider $$I_i=\int \frac{\sin(9x)}{x-r_i}\,dx$$ and change variable $x=y+r_i$ to get $$I_i=\int \frac{\sin(9(y+r_i))}{y}\,dy=\cos(9r_i)\int \frac{\sin(9y)}{y}\,dy+\sin(9r_i)\int \frac{\cos(9y)}{y}\,dy$$ Using now $y=\frac z9$,we get $$I_i=\cos(9r_i)\int \frac{\sin(z)}{z}\,dz+\sin(9r_i)\int \frac{\cos(z)}{z}\,dz$$ that is to say $$I_i=\cos(9r_i)\,\text{Si}(z)+\sin(9r_i)\,\text{Ci}(z)$$ donde aparece el seno y el coseno integrales.

Entonces, el verdadero lío dada por Wolfram Alpha como principios comentado por Ross de Millikan.