Cómo mostrar que $ABC$ es equilátero?

Question

Vamos $D$, $E$ y $F$ tres puntos en los lados $BC$,$AC$ y $AB$ de triángulo $ABC$ de manera tal que las líneas de $AD$, $BE$ y $CF$ de acuerdo en el punto de $M$. Si tres trianles $MDB$, $MCE$ y $MAF$ tienen áreas iguales y de igual perímetro. Cómo mostrar que $ABC$ es equilátero?

Answer 1

Este problema me dio un momento muy difícil, un montón de pasos que están involucrados.

Paso 1. Si $ABC$ es equilátero y $MAF,MBD,MCE$ tienen la misma área, a continuación, $M$ es el centro de la $ABC$.

Dado que el $[x,y,z]$ son las coordenadas trilineales de $M$, las áreas de nuestra triángulos son proporcionales a: $$\frac{xy}{x+z},\frac{yz}{x+y},\frac{xz}{y+z}$$ por lo tanto $M=[1,1,1]$ es la única oportunidad.

Paso 2. Si las áreas de $MAF,MBD,MCE$ son iguales, $M$ es el centroide de $ABC$.

Tomar un afín mapa de $\Phi$ que trae nuestro triángulo original en un equilátero. Desde el afín mapas de preservar la relación entre las áreas, $\Phi(M)$ es el centroide de $\Phi(ABC)$ debido al paso 1, por lo tanto $M$ es el centroide de $ABC$ $D,E,F$ son los puntos medios de los lados.

Llame ahora $m_a,m_b,m_c$ de las longitudes de las medianas a través de $A,B,C$ $a,b,c$ de las longitudes de los lados $BC,AC,AB$ respectivamente.

Paso 3. Si $a>b$,$m_a<m_b$.

Esto sólo se sigue de la de Stewart teorema, la concesión: $$ 4m_a^2 = 2b^2+2c^2-a^2,\qquad 4m_b^2=2a^2+2c^2-b^2.$$

Paso 4. Si $a>b$,$\frac{a}{2}+\frac{m_a}{3}>\frac{b}{2}+\frac{m_b}{3}$.

Esta es la parte crucial. Es sencillo comprobar que la desigualdad es equivalente a: $$ a^2+b^2-ab > 2c^2-4m_a m_b,$$ pero desde $a^2+b^2\geq 2ab$, es suficiente para demostrar que el más débil de la desigualdad: $$2c^2-ab< 4m_a m_b$$ que es equivalente a: $$a^4+b^4 < 2a^2b^2 + a^2c^2+b^2 c^2+2abc^2$$ o a: $$(a^2-b^2)^2 < (a+b)^2 c^2$$ o a: $$(a-b)^2< c^2$$ eso es sólo la desigualdad de triángulo $|a-b|<c$. Ufff.

Supongamos ahora que $ABC$ no es equilátero. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que $a\geq b\geq c$ y al menos una de las dos desigualdades mantiene apretada. Pero debido al Paso 3 y Paso 4 tenemos: $$\left(\frac{a}{2}+\frac{m_a}{3}\right)+\frac{2m_b}{3}>\left(\frac{c}{2}+\frac{m_c}{3}\right)+\frac{2m_a}{3},$$ por lo tanto los triángulos $MAF,MBD$ $CEF$ no todos tienen el mismo perímetro, la contradicción.