¿Cómo puedo encontrar la distancia media entre dos puntos situados en la superficie de una esfera de un radio determinado?
Más importante: ¿el conocimiento de la distancia media entre dos puntos en la superficie de un disco (esta pregunta ya tiene respuesta en MSE) puede ser útil para responder a la pregunta sobre la distancia media entre dos puntos en la superficie de una esfera? ¿O no hay ninguna relación/generalización evidente entre las dos preguntas?
Sin pérdida de generalidad, supongamos que el primer punto está en el "polo norte"; también sin pérdida de generalidad, supongamos que el segundo punto está a lo largo del "primer meridiano". Entonces la probabilidad de estar en la "latitud" $x$ grados norte es igual a la probabilidad de estar en la "latitud" $x$ grados al sur (y es proporcional a $\cos x$ ). Por lo tanto, la latitud media está en el "ecuador", y la distancia media es $\pi r/2$ como lo han afirmado Henry y Achille Hui.
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Si te refieres a lo que creo que quieres decir, entonces sólo quieres considerar un punto fijo y promediar las distancias a lo largo de un gran círculo que pasa por ese punto. En ese punto, puedes pasar al problema 2D de la distancia media a lo largo de una circunferencia.
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@CameronWilliams : ¿Cómo puedo generalizar eso a esferas de n dimesiones? Esa es la motivación para hacer esta pregunta.
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Podría estar equivocado pero si se hace un corte a lo largo de un gran círculo de una esfera en $\Bbb R^n$ Creo que se obtiene una esfera en $\Bbb R^{n-1}.$ Por lo tanto, creo que se puede seguir reduciendo el problema hasta el caso del círculo. Sin embargo, podría estar equivocado.
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No creo que el método de punto fijo y gran círculo único se generalice bien incluso a una esfera en el espacio tridimensional. Si los puntos están distribuidos uniformemente en la esfera, la densidad de probabilidad de la separación angular es mayor en $\pi/2$ que en $0$ o $\pi$ . Pero si ambos puntos están uniformemente distribuidos, entonces un punto fijo y un punto uniformemente distribuido funcionan. Yo trataría de encontrar $dA/dr$ donde $A$ es la medida de la porción de la esfera dentro de $r$ unidades del punto fijo.
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Por distancia, supongo que te refieres a la distancia geodésica en la esfera. Consideremos el caso de que el punto fijo sea el polo norte. Si tienes un punto a una distancia $r$ del polo norte, su imagen especular en relación con el $xy$ -el plano está a una distancia $\pi - r$ . Dado que el reflejo wrt $xy$ -es una isometría, ....
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@achillehui : solo una curiosidad , ¿hay alguna generalización que generalice la distancia geodésica a n dimensiones?
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@Arjang, para $n$ -esfera, es esencialmente lo mismo que el de una $2$ -En el caso de una esfera de dimensiones reducidas, se construye el gran círculo entre los dos puntos y la distancia geodésica es la longitud del arco más corto que une esos dos puntos a lo largo del gran círculo.
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@DavidK: Estaría de acuerdo contigo en que no hay que tomar los puntos como uniformemente distribuidos en una gran circunferencia, por la razón que das, pero existe el argumento de que están simétricamente distribuidos, haciendo que la distancia superficial media entre dos puntos $\pi r / 2$ .
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@CameronWilliams: La pregunta más difícil (y más análoga) es, ¿cuál es la distancia media entre dos puntos de la bola unitaria?
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@BrianTung $\frac{36}{35}$ , ver las respuestas de este .
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Cierto, dirijo al OP a una pregunta que me parece más análoga.
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@Henry No estaba asumiendo la distancia geodésica. Pensándolo bien, está claro que el método del "gran círculo" hizo asumir la distancia geodésica, y no está nada claro que el OP lo hiciera no así que asúmelo. La respuesta depende realmente de cuál sea el tipo de medida de distancia deseada; la distancia euclidiana en $\mathbb R^n$ da un resultado diferente, por ejemplo.