Un resultado sobre las inversiones continuas

Question

Estaba leyendo el an artículo que hizo la siguiente declaración:

desde $g$ es una función continua que está limitada desde abajo por un número positivo, tiene un continuo inverso?

La única otra información pertinente sobre $g$ es que es una función de un conjunto compacto para $ \mathbb {R}$ pero eso se usa en la declaración que alcanza su mínimo. Mi pregunta es:

¿Por qué exactamente se puede concluir $g$ tiene un continuo inverso?

Answer 1

Que no estamos hablando de una función inversa, sino más bien sobre un inverso multiplicativo en el álgebra de funciones continuas en $X$. A la inversa en cuestión es la función de $h:X\to\Bbb R$ que se lleva a $x$$\frac1{g(x)}$. Esto es claramente continua: es la composición de la función continua $g$ con la función $$\Bbb R^+\to\Bbb R^+:x\mapsto\frac1x\;,$$ which is continuous on $\Bbb R^+$. And the product function $gh$ is the constant function $1$ on $X$, which is the multiplicative identity of $C(X)$.

En otras palabras, $h$ es la inversa de a $g$ en el sentido de que $gh=hg=1_X$, donde el producto es el habitual pointwise producto, y $1_X(x)=1$ por cada $x\in X$; no a la inversa, en el sentido de que $h\circ g=\text{id}_X$, la identidad de la función en $X$.