¿Puedo solicitar el del teorema de Ceva correctamente a este problema?

Question

Necesito confirmar la siguiente solución. Estoy haciendo un error en alguna parte. Pero no puedo encontrar el error.

Puedo aplicar la forma trigonométrica de los Ceva del teorema:

$$\frac{\sin \angle 3}{\sin \angle 4}× \frac{\sin \angle 1}{\sin \angle 2}×\frac{\sin \angle 5}{\sin \angle 6} =1$$

$$\frac{\sin \angle 3}{\sin \angle 4}=\frac {\sin \angle 2 ×\sin \angle 6}{\sin \angle 1 ×\sin \angle 5}$$

$$\angle 3+\angle 4=\phi, \angle 1=\alpha, \angle 2=\frac{180°-\phi}{2}-\alpha ,\angle 3=x, \angle 4=\phi-x , \angle 5= \frac{180°-\phi}{2}-θ, \angle 6=θ$$

$$\frac {\sin x}{\sin (\phi -x)}=\frac{\sin \beta ×\sin θ }{\sin \alpha ×\sin \gamma}$$

$$\tan x=\frac{\frac{\sin \beta ×\sin θ }{\sin \alpha ×\sin \gamma}×\sin \phi}{1+\frac{\sin \beta ×\sin θ }{\sin \alpha ×\sin \gamma}×\cos\phi}$$

$$\tan x=\frac{\sin \beta ×\sin θ×\sin \phi}{\sin \alpha × \sin \gamma+\sin \beta ×\sin θ×\cos\phi}$$

$$x= \arctan \frac{\sin \beta ×\sin θ×\sin \phi}{\sin \alpha × \sin \gamma+\sin \beta ×\sin θ×\cos\phi}$$

$$\angle OBC=\phi-\arctan \frac{\sin \beta ×\sin θ×\sin \phi}{\sin \alpha × \sin \gamma+\sin \beta ×\sin θ×\cos\phi}$$

Finalmente, $$\alpha=\sqrt[3]{66,666°},\beta=6,667°-\sqrt[3]{66,666°}, \gamma=6,667°-\arctan 0,10666, θ=\arctan 0,10666$$

MathLab, dice que,

$x≈4,345102733435...°, \angle OBC= \phi-x≈166,666°-4,345102733435...°=161,654897266...°$

Pero, esta respuesta genera una contradicción en mi solución https://math.stackexchange.com/a/3026556/548054

¿Dónde está el error en mi solución? Por favor, muéstrame donde he cometido un error. Por desgracia, no puedo ver.

Gracias.

Answer 1

Analíticamente que todos los cheques. Ceva del teorema se utiliza correctamente. La ecuación trigonométrica es resuelto correctamente. Así, todas las fórmulas son correctas.

$\alpha \approx 4.0548^\circ\quad\quad \beta\approx 2.6122^\circ \quad\quad\gamma\approx 0.5788^\circ\quad\quad \theta\approx 6.0882^\circ\quad\quad \phi\approx 166.6660^\circ\quad\quad$

A conectarlo todo, se devuelve $\;\tan x\approx -0.27946\quad$ e $\quad x=\tan^{-1}{(-0.27946)}\approx -15.6136^\circ\quad$ o $\quad x\approx180^\circ+(-15.6136^\circ)=164.3864^\circ\;\;$ como la tangente tiene un período de $\,180^\circ.\;$ $\angle OBC\approx166.6660^\circ-164.3864^\circ\approx2.280^\circ.$

Supongo que algo salió mal en la entrada/salida de etapa aquí. Tal vez algunos ángulos tienen un grado de símbolos que faltan pero no veo el error en la primera ecuación: $$\frac{\sin x}{\sin(\phi - x)}\approx\frac{\sin(-15.6139)}{\sin(166.666+15.6139)}\approx6.7660$$ $$\frac{\sin \beta\,\sin \theta}{\sin\alpha\,\sin \gamma}\approx6.7670$$ Así, las fórmulas son correctas. Eso tiene que ser alguna errata en la aritmética. Un consejo:

No hay necesidad de entrar tanto en términos de números. Tenemos sólo tres cifras significativas después del punto decimal de todos modos. Romper la media aritmética de cálculo en varias etapas debe ayudar a localizar el error que se deslizó en el aquí.