Estoy tratando de darle una forma más o menos fácil la prueba de la dualidad de Serre en las superficies de Riemann (si usted tiene alguna sugerencia, una parte de Otto Forsters libro, vaya por delante). Tengo algunas notas donde dice que Cech cohomology en un compacto RS con coeficients en una línea de paquete (por ejemplo,$O_D$) se puede calcular utilizando cualquiera de abrir la cubierta de la correcta abrir sets, ¿es esto realmente cierto? Que es, por Leray la pregunta es: ¿cómo puede una línea de paquete de ser acíclicos en un (correcto) conjunto abierto de X? Creo que es válido también para los no compacto RS.
PD:Se puede utilizar esta opción para definir el mapa de residuos, sin pasar a través de Mittag Leffer, y así sucesivamente (creo que aclara las cosas)
Editado:
Ok, aquí es una prueba, ¿ves algún error?:
De la falta de superficie de Riemann compacta $S$, $H^1(S,O_D)=0$.
Deje $\{p_1,p_2,\dots\}\in S$ ser un conjunto discreto de una infinidad de puntos (que existe desde $S$ es no compacta) y considerar el divisor $D'=\sum_{i=1}^{\infty}(-1)p_i$. Deje $T$ ser definido por la secuencia exacta de las poleas: $$0\rightarrow O_{D'}\rightarrow O\rightarrow T\rightarrow 0$$ A continuación, $T$ es un rascacielos gavilla en los puntos de $\{p_1,p_2,\dots\}$ (por lo $H^1(S,T)=0$ $T(S)$ es infinito dimensional). De la larga secuencia exacta de cohomology obtenemos la secuencia exacta: $$O(S)\rightarrow T(S)\rightarrow H^1(S,O_{D'})$$ donde desde $\dim_{\mathbb{C}}H^1(S,O_{D'})<\infty$ podemos deducir que $O(S)$ es de infinitas dimensiones. Por lo tanto podemos considerar a un no constante $f\in O(X)$ y a partir de la secuencia exacta: $$0\rightarrow O_D\rightarrow O_D\rightarrow R\rightarrow 0$$ (multiplicación por $f$$O_D$) podemos deducir que $H^1(\cdot f):H^1(S,O_D)\rightarrow H^1(S,O_D)$ es surjective. Si $H^1(S,O_D)\neq 0$ $H^1(\cdot f)$ tiene un autovalor $\lambda\in\mathbb{C}$ pero, a continuación, $H^1(\cdot f-\lambda)$ no puede ser surjective.
