Deje $f(x)$ ser un polinomio con coeficientes enteros, irreducible sobre los enteros. Supongamos que para todos los números primos $p$, $f$ tiene un cero en el campo $\mathbb{Q}_p(\sqrt{2})$. Aquí $\mathbb{Q}_p$ denota el campo de la $p$-ádico números. Debe $f$ tiene un cero en el campo $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Chris Benard
Puntos
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Peter Mueller, responder a mi pregunta aquí, los puntos de mí "En una cuestión de W. Jehne relativas a cubrir los subgrupos de los grupos y de Kronecker clases de campos" de Jan Saxl. En la primera página, vemos
Corolario: Vamos a $K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})$ ser una ecuación cuadrática de la extensión de $\mathbb{Q}$ $d$ una plaza libre entero y deje $M$ ser un adecuado finito extensión de $K$. A continuación, hay infinitos números primos $p$ $\left( \frac{d}{p} \right)=1$ que no tienen ningún divisor primo en $M$ de primer grado.
En otras palabras, para cualquier $f$ irreductible $\mathbb{Q}$ que no se abre completamente en $K$, hay una infinidad de $p$ que $p = \pi \bar{\pi}$$K$, $K_{\pi} \cong \mathbb{Q}_p$ $f$ no tener raíces en $K_{\pi}$.
