Pregunta Declaración:-
Si $u_n=\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}{\dfrac{1-\cos{2nx}}{1-\cos{2x}}dx}$, y luego encontrar el valor de la determinante $$\Delta=\begin{vmatrix} \dfrac{\pi}{2} & u_2 & u_3 \\ u_4 & u_5 & u_6 \\ u_7 & u_8 & u_9 \end{vmatrix}$$
Mi Solución:-
$u_1=\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}{\dfrac{1-\cos{2x}}{1-\cos{2x}}dx}=\dfrac{\pi}{2}$
$\therefore$ El dado se convierte en determinante $$\Delta=\begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ u_4 & u_5 & u_6 \\ u_7 & u_8 & u_9 \end{vmatrix}$$
Ahora, en este punto se considera prudente para utilizar algunos de fila y columna de las operaciones para resolver el determinante en lugar de ampliar el determinante. Así que para venir para arriba con una buena fila de la operación a la que se da una constante, lo que he considerado hacer era utilizar la propiedad $\cos^2{m}-\cos^{2}n=\sin{(n+m)}\cdot\sin{(n-m)}$ a mi favor.
Como, $u_n=\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}{\dfrac{1-\cos{2nx}}{1-\cos{2x}}dx}=\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}{\dfrac{\sin^2{nx}}{\sin^2{x}}dx}$
$\por lo tanto u_{n+1}-u_n+u_{n+1}-u_{n+2} =\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}{\dfrac{\left(\sin^2{(n+1)}x-\sin^2{(n)}x\right)+\left(\sin^2{(n+1)}x-\sin^2{(n+2)}x\right)}{\sin^2{x}}dx} =\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}{\dfrac{\left(\sin(2n+1)x\sin{x}\right)+\left(\sin(2n+3)x\sin(-x)\right)}{\sin^2{x}}dx} =\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}{\dfrac{\sin{x}\left(\sin(2n+1)x-\sin(2n+3)x\right)}{\sin^2{x}}dx} =\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}{\dfrac{2\sin^2{x}\cos2(n+1)x}{\sin^2{x}}dx} =\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}{\left(2\cos2(n+1)x\right)dx}=\left(\dfrac{\sin2(n+1)x}{(n+1)}\right)_{0}^{\frac{\pi}{2}}=0$
Así, obtenemos $$\boxed{u_n+u_{n+2}-2u_{n+1}=0}$$
$\therefore$ aplicamos la columna de operación $C_1\rightarrow C_1+C_3-2C_2$ $\Delta$para obtener
$$\Delta=\begin{vmatrix} 0 & u_2 & u_3 \\ 0 & u_5 & u_6 \\ 0 & u_8 & u_9 \end{vmatrix}=0$$
Mientras escribía mi solución me di cuenta de el error que yo estaba haciendo, pero desde que yo ya había escrito todo lo anterior yo no podía hacer que mi corazón sangrar por no publicar todo mi trabajo, así que en lugar de preguntar "cómo proceder" o "¿dónde estoy pasando mal" voy a estar preguntando - ¿hay alguna mejor manera de resolver esta cuestión en el nivel de secundaria?
Y, por la forma en que el error que yo hacía era escribir $1-\cos{2nx}=\cos^2{nx}$$1-\cos{2x}=\cos^2{x}$, típica no es hasta que te das cuenta que me pasé todo un día tratando de resolver esta cuestión y no darse cuenta de este error estúpido.
