Mi intuición me dice que es.
Pero en términos de los vectores, en el lapso de un vector con sólo uno de los componentes (un vector en $\mathbb{R}^1$) no se dice que sea un subespacio de $\mathbb{R}^2$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Técnicamente, la respuesta es no, debido a que $\mathbb{R}^1$ es no un subconjunto de $\mathbb{R}^2$. $\mathbb{R}^1$ consta de los números reales, mientras que $\mathbb{R}^2$ se compone de pares ordenados de números reales; por lo tanto, $\mathbb{R}^1$ no está contenido en $\mathbb{R}^2$.
Sin embargo, hay muchas maneras en que uno puede "poner una copia de $\mathbb{R}^1$ a $\mathbb{R}^2$", y dependiendo de cómo se hace, el resultado puede o no puede ser un subespacio de $\mathbb{R}^2$. Mira la definición de un subespacio, y considerar la posibilidad de que $$S=\{(x,0)\in\mathbb{R}^2\mid x\in\mathbb{R}^1\}$$ es un subespacio de $\mathbb{R}^2$ porque
- el vector cero, $(0,0)\in S$
- para cualquiera de los dos $(a,0),(b,0)\in S$, $(a,0)+(b,0)=(a+b,0)\in S$
- para cualquier $(a,0)\in S$$c\in\mathbb{R}$, $c(a,0)=(ca,0)\in S$
mientras
$$T=\{(x,1)\in\mathbb{R}^2\mid x\in\mathbb{R}^1\}$$
es totalmente incapaz de ser un subespacio de $\mathbb{R}^2$ - cada condición es falsa:
- el vector cero, $(0,0)\notin T$
- para cualquiera de los dos $(a,1),(b,1)\in T$, nosotros no tenemos ese $(a,1)+(b,1)=(a+b,2)\in T$
- para cualquier $(a,1)\in T$$c\in\mathbb{R}$, nosotros no tenemos ese $c(a,1)=(ca,c)\in T$ (a menos que $c=1$)
En general, debe tener en cuenta que es totalmente posible que un subespacio de un espacio vectorial $V$ a tiene dimensión menor que $V$; por ejemplo, para cualquier espacio vectorial $V$, el subconjunto que consta de sólo el elemento cero es siempre un subespacio, y tiene dimensión 0.
