¿cómo calcular el grupo fundamental utilizando las ideas intitutivas?

Question

Estoy tratando de calcular el grupo fundamental de $\mathbb{R}^3- \{ x\text{-axis}\cup y\text{-axis}\cup z\text{-axis}\}$ .

Idea: Creo que podemos demostrar que la deformación se retrae en 2 esferas menos 4 puntos.

Answer 1

Como mencionó Qiaochu Yuan, $\mathbb{R}^3\setminus(\text{union of the $ x $- $ y $- and $ z $-axes})$ la deformación se retrae en la esfera $S^2$ con 6 puntos perdidos. Para ver esto, observe que $\mathbb{R}^3\setminus\{0\}$ deformación se retrae en $S^2$ por $$ (\mathbb{R}^3\setminus\{0\})\times[0,1] \to \mathbb{R}^3\setminus\{0\} : (x,y,z)\mapsto t \frac{(x,y,z)}{||(x,y,z)||} + (1-t) (x,y,z) .$$ La misma fórmula se retrae $\mathbb{R}^3$ sin los ejes en $S^2$ sin los puntos $(\pm1,0,0)$ , $(0,\pm1,0)$ y $(0,0,\pm1)$ .

Ahora bien, como señala el usuario61223, la esfera con 6 puntos perdidos es homeomorfa al plano con 5 puntos perdidos, que tiene como grupo fundamental el grupo libre sobre cinco generadores. Este es el grupo fundamental que buscas.

Answer 2

Dado que la esfera borrar un punto es homeomorfa a $R^2$ Así que $S^2$ \ $\{ X-axis, Y-axis,Z-axis\}$ es equivalente en homotopía al disco unitario $D^2$ \ $\{ 5 points\}$ , por lo que el grupo fundamental será el producto libre $\mathbb Z*\mathbb Z* \mathbb Z* \mathbb Z* \mathbb Z$