¿Cuántos valores enteros de $n$ son posibles para $n^2+25n+19$ para ser un cuadrado perfecto.

Question

[1] ¿Cuántos valores enteros de $n$ son posibles para $n^2+25n+19$ para ser un cuadrado perfecto.

[2] ¿Cuántos valores enteros de $n$ son posibles para $n^2-19n+99$ para ser un cuadrado perfecto.

$\underline{\bf{My\;Try}}::$ para la primera , Dejemos $k^2 = n^2+25n+99$ , donde $k,n\in \mathbb{Z}$

Así que $4k^2 = 4n^2+100n+76\Rightarrow (2k)^2 = (2n)^2+2\cdot (2n)\cdot 25+625+(76-625)$

$(2k)^2 = (2n+25)^2-549\Rightarrow (2n+25)^2-(2k)^2 = 549 = 3^3\cdot 61$

Ahora dejemos $x= 2k$ y $y = (2n+25)$ ,

obtenemos $(x^2-y^2)=(x+y)\cdot(x-y) = 3^2 \cdot 61$

¿Es correcto o no, y hay algún otro método para resolver este tipo de preguntas,

En caso afirmativo, explique aquí

Gracias

Answer 1

Dejemos que $$n^2+25n+19=(n+a)^2\text{ where }a\text{ is some integer }$$

$$\iff n=\frac{a^2-19}{25-2a}$$

Dejemos que los enteros $d$ divide ambos $a^2-19,25-2a$

$\implies d$ divide $\{2(a^2-19)+a(25-2a)\}=25a-38$

$\implies d$ divide $\{2(25a-38)+25(25-2a)\}=549=9\cdot61$

Así, los divisores $(d)$ de $549$ son $\pm1,\pm3,\pm9\pm61,\pm183,\pm549$

Como $25-2a$ debe dividir $a^2-19,$ comprobar qué valores de $d(=25-2a)$ hacer $n$ entero