¿Cómo integrar estas integrales? $\int{\frac{1}{(x^x-x^{-x})}} dx$

Question

Problema :

$$\int{\frac{1}{(x^x-x^{-x})}} dx$$

Necesito respuesta sobre el siguiente problema. Por favor, ayúdenme. Se lo agradeceré. Gracias.

Answer 1

Aviso:

$$x^x - x^{-x} = x^x - \frac{1}{x^x} = \frac{x^{2x}-1}{x^x}$$

Y por lo tanto su integral puede transformarse en

$$\int \frac{x^x}{x^{2x}-1} dx $$

A partir de aquí podemos realizar la descomposición parcial de la fracción para obtener

$$\frac{1}{2}\int \lbrace \frac{1}{x^x +1} + \frac{1}{x^x-1} \rbrace dx $$

Ahora la clave es integrar estas pequeñas funciones por sí mismas, lo cual es un resultado no elemental pero bastante fácil de aproximar con series.