Calcular el límite que implican $\sin$ función

Question

Calcular el siguiente límite: $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x-\overbrace{\sin (\sin (...(\sin x)...))}^{150\ \text{times}\ \sin}}{x^3}$$

Traté de aplicar L'Hospital de la regla, pero lo tengo muy complicado.

Gracias de antemano!

Answer 1

Deje que nos indican

$$\phi(x;n):=\sin^n(x)=\sin(\sin(\dots\sin(x)\dots)$$

y

$$\Phi(n):=\lim_{x\to0}\frac{x-\phi(x;n)}{x^3}.$$

A continuación, desea calcular $\Phi(150)$. Primero de todo, comprobar mediante la regla de L'Hôpital que

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1,\quad\text{y}\quad \lim_{x\to 0}\frac{x-\sin(x)}{x^3}=\frac16.$$

Tenga en cuenta que el primer límite implica que

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin(\sin(x))}{x}= \lim_{x\to0}\frac{\sin(\sin(x))}{\sin(x)}\frac{\sin(x)}{x}= \lim_{x\to0}\frac{\sin(\sin(x))}{\sin(x)} \lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1$$

y, en general, por un argumento inductivo),

$$\lim_{x\to0}\frac{\phi(x;n)}x=1.$$

Ahora, escribir

$$\begin{align*} \Phi(n)&=\lim_{x\to0}\frac{x-\phi(x;n-1)+\phi(x;n-1)-\phi(x;n)}{x^3}\\ &=\Phi(n-1)+\lim_{x\to0}\frac{\phi(x;n-1)-\phi(x;n)}{x^3}\\ &=\Phi(n-1)+\lim_{x\to0}\frac{\phi(x;n-1)-\sin(\phi(x;n-1))}{\phi(x;n-1)^3}\left(\frac{\phi(x;n-1)}{x}\right)^3\\ &=\Phi(n-1)+\lim_{x\to0}\frac{\phi(x;n-1)-\sin(\phi(x;n-1))}{\phi(x;n-1)^3}\lim_{x\to0}\left(\frac{\phi(x;n-1)}{x}\right)^3\\ &=\Phi(n-1)+\lim_{x\to0}\frac{\phi(x;n-1)-\sin(\phi(x;n-1))}{\phi(x;n-1)^3}\\ &=\Phi(n-1)+\frac16. \end{align*}$$

Esto es, $\Phi$ satisface la relación recursiva

$$\Phi(n)-\Phi(n-1)=\frac16.$$

Telescópica vemos que

$$\Phi(N)-\Phi(1)=\sum_{n=2}^N(\Phi(n)-\Phi(n-1))=\sum_{n=2}^N\frac16,$$

o

$$\Phi(N)=\Phi(1)+(N-1)\frac16=\frac16+(N-1)\frac16=\frac{N}6.$$

Ahora establezca $N=150$ obtener $\Phi(150)=25$.

Answer 2

El uso de la forma corta de expansión de la serie: $$ \sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+O(x^5)\\ \sin(\sin(x))=\sin(x)-\frac{\sin^3(x)}{6}+O(\sin^5(x))\a\\ \sin(\sin(x))=x-\frac{x^3}{6}+O(x^5)-\frac{(x-\frac{x^3}{6}+O(x^5))^3}{6}+O(x^5)\a\\ \sin(\sin(x))=x-\frac{x^3}{3}+O(x^5) $$ Parte importante aquí es notar que cada adicional $\sin(...)$ conduce a la expresión de la misma forma, mientras que la adición de $-\frac{x^3}{6}$. A continuación, $$\overbrace{\sin (\sin (...(\sin x)...))}^{150\ \text{times}\ \sin}=x-150\frac{x^3}{6}+O(x^5)$$ Por lo tanto, $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x-\overbrace{\sin (\sin (...(\sin x)...))}^{150\ \text{times}\ \sin}}{x^3}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x-x+150\frac{x^3}{6}+O(x^5)}{x^3}=\lim_{x \rightarrow 0}(25+O(x^2))=25$$

Answer 3

La derivada no es en absoluto complicado.

Vamos a denotar $N=150$, $S_k(x)$ el $k$-pliegue del seno y del $C_k(x)=\cos S_{k-1}(x)$. Tenga en cuenta que tenemos $S_k(0)=0$$C_k(0)=1$.

En esta notación, el numerador es $x-S_N(x)$. Su derivada es $(x-S_N(x))'=1-C_1(x)\dotsm C_N(x)$. Los derivados de este (es decir, la 2ª derivada) es $$(x-S_N(x))''=\sum_{k=1}^{N} C_1^2(x)\dotsm C_{k-1}^2(x) S_k(x) C_{k+1}(x)\dotsm C_N(x),$$ debido a $C_k(x)' = -C_1(x)\dotsm C_{k-1}(x) S_k(x)$ y utilizamos simplemente el producto de la regla. Por lo tanto, la 2ª derivada del numerador es una suma de $N$ de los productos que contienen cada uno de seno y, a continuación, algunos de los cosenos.

La segunda derivada del denominador es $(x^3)''=6x$. Si podemos demostrar que $\lim_{x\to0}\frac{S_k(x)}{x}=1$ todos los $k$, recibimos (la aplicación de l'Hospital dos veces) el resultado de la $N/6=25$, lo cual es correcto. Pero esto es cierto, como hemos $S_k(x)'=C_1(x)\dotsm C_k(x)$ donde $\lim_{x\to0}\frac{S_k(x)}{x}=\lim_{x\to0} \frac{C_1(x)\dotsm C_k(x)}{1}=1$.

Answer 4

Aquí es más o menos elementales de cálculo del límite.

Una muy conocida comúnmente límite es $$ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-\sen 0 }{x 0}=\pecado'(0)=\cos(0)=1. \etiqueta{1}\label{1} $$ También, usted puede probar con L'Hôpital que $$ \lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{3x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{6}=\frac{1}{6}\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\stackrel{\eqref{1}}=\frac{1}{6}\cdot 1=\frac{1}{6}. \etiqueta{2}\label{2} $$ Con esto, vemos $$ \lim_{x\to 0}\frac{\sin^{(n)}x-\sin^{(n+1)} x}{x^3}\\ =\lim_{x\to 0}\left[\frac{\sin^{(n)}x-\sin^{(n+1)} x}{\left(\sin^{(n)}x\right)^3}\cdot\left(\frac{\sin^{(n)}x}{\sin^{(n-1)}x}\right)^3\cdot\left(\frac{\sin^{(n-1)}x}{\sin^{(n-2)}x}\right)^3\cdots\left(\frac{\sin^{(1)}x}{\sin^{(0)}x}\right)^3\right]\\ =\left(\lim_{x\to 0}\frac{\sin^{(n)}x-\sin^{(n+1)} x}{\left(\sin^{(n)}x\right)^3}\right)\cdot\left(\lim_{x\to 0}\frac{\sin^{(n)}x}{\sin^{(n-1)}x}\right)^3\cdot\left(\lim_{x\to 0}\frac{\sin^{(n-1)}x}{\sin^{(n-2)}x}\right)^3\cdots\left(\lim_{x\to 0}\frac{\sin^{(1)}x}{\sin^{(0)}x}\right)^3\\ =\left(\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}\right)\cdot\left(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\right)^3\cdot\left(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\right)^3\cdots\left(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\right)^3\stackrel{\eqref{1}\&\eqref{2}}=\frac{1}{6}. \etiqueta{3}\label{3} $$ Donde$\sin^{(n)}x:=\overbrace{\sin(\sin(...\sin(x)...))}^{n\text{ times}}$$\sin^{(0)}x:=x$. Hemos utilizado el hecho de que si dos funciones $f,g$ hemos $$ \lim_{x\substack {\\\ \neq}} g(x)=b\qquad\text{y}\qquad \lim_{x\substack {\\\ \neq}b}f(x)=l $$ y $g(x)\neq b$ en un barrio de $a$ $$ \lim_{x\substack {\\\ \neq}} f(g(x))=l. $$

Finalmente llegamos a la conclusión de $$ \lim_{x\to 0}\frac{x-\sin^{(n)} x}{x^3}=\lim_{x\to 0}\left[\frac{x-\sin^{(1)}x+\sin^{(1)}x-\sin^{(2)}x+...+\sin^{(n-1)}-\sin^{(n)} x}{x^3}\right]\\ =\left(\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin^{(1)}x}{x^3}\right)+\left(\lim_{x\to 0}\frac{\sin^{(1)}x-\sin^{(2)}x}{x^3}\right)+...+\left(\lim_{x\to 0}\frac{\sin^{(n-1)}-\sin^{(n)} x}{x^3}\right)\\ =\overbrace{\frac{1}{6}+...+\frac{1}{6}}^{n\text{ momentos}}\stackrel{\eqref{3}}=\frac{n}{6} \etiqueta{4}\label{4} $$ y por lo tanto $$ \lim_{x\to 0}\frac{x-\sin^{(150)} x}{x^3}\stackrel{\eqref{4}}=\frac{150}{6}=25. $$