extensión ciclotómica, extensión cuadrática de $K=\mathbb{Q}(\sqrt{17}) $ tal que $ K/\mathbb{Q}$ es cíclico

Question

Existe una extensión cuadrática $J$ de $K=\mathbb{Q}(i)$ tal que la extensión $ J / \mathbb{Q}$ ¿es cíclico? La misma pregunta con $K=\mathbb{Q}(\sqrt{17}) $

Hice este problema , pero sólo con "suerte" porque , sé que las extensiones ciclotómicas son cíclicas, y el grado de la extensión ciclotómica $[\mathbb{Q}(\zeta_n):\mathbb{Q}]=\phi(n)$ . Así que busqué primero algunos $n$ tal que $\phi(n)=4$ por ejemplo $n=8$ . Pero también necesito que esta extensión también contenga $i$ . No sé cómo comprobar esto en general. En este caso me he dado cuenta de que $\zeta_8^2 = i $ y ya está, pero por ejemplo no sé cómo comprobar esto en general. Por ejemplo si $n=5$
Bueno... Si alguien sabe algo por favor ayúdeme con eso.

Y no tengo ni idea de cómo atacar el problema con $K=\mathbb{Q}(\sqrt{17}) $ Este es un problema de extensiones ciclotómicas, no sé cómo relacionar las extensiones ciclotómicas con $\sqrt{17}$

Answer 1

Para facilitarme las cosas, voy a llamar a una primitiva $17$ -raíz de la unidad $z$ en lugar de $\zeta$ . Entonces $K=\mathbb{Q}(z)$ es de grado $16$ en $\mathbb Q$ y su grupo de Galois es naturalmente isomorfo a $(\mathbb Z/17\mathbb Z)^*$ que es cíclico, y podemos elegir $6$ para un generador. Tenemos $6^2\equiv 2\pmod{17}$ y $6^4\equiv 4\pmod{17}$ . Aplicando esto a nuestra extensión de campo, el generador correspondiente del grupo de Galois envía $z$ a $z^6$ . El subgrupo (único) de orden $8$ es generado por $z\mapsto z^2$ y el subgrupo de orden $4$ es generado por $z\mapsto z^4$ . Estos grupos son de índice $2$ y $4$ respectivamente, y sus campos fijos son las extensiones cuadrática y cuártica (únicas) de $\mathbb Q$ contenida en $K$ .

Ahora viene la parte computacional complicada. Esperas (y normalmente parece que funciona) que el rastro de $z$ hasta cada subcampo será realmente un generador del campo en cuestión. Así que espera que $r=z+z^2+z^4+z^8+z^{-1}+z^{-2}+z^{-4}+z^{-8}$ generará la extensión cuadrática y $x=z+z^4+z^{-1}+z^{-4}$ generará la extensión del cuarteto. Confieso que he utilizado el cálculo de la máquina, pero no debe ser más allá de la mano para ver lo que he encontrado: $r^2+r-4=0$ . Así que $r=(-1\pm\sqrt{17})/2$ . ¡Que bien! A continuación he calculado $x^2$ y $rx$ y es un golpe de suerte que $x^2=rx+1$ ¡¡!! Así que $x=(r\pm\sqrt{8-r})/2$ .

Si tomamos $r=(-1-\sqrt{17})/2$ entonces $8-r=(17+\sqrt{17})/2$ por lo que el cálculo anterior muestra que la extensión cíclica cuártica es $\mathbb Q\left(\sqrt{\frac{17+\sqrt{17}}2}\;\right)$ pero tengo que confesar que me he quedado sin fuerzas para describir la acción del grupo de Galois.