el número de los distintos primer ideales del anillo de $\mathbb Q[x]/\langle x^4-1\rangle$.

Question

El número de los distintos primer ideales del anillo $${ \mathbb Q[x]}/{I}$$ where $I$ is the ideal generated by $x^4-1$. its ans. is given $3$. I can't understand how? I know the ans. when in place of $4$ no es un número primo

Answer 1

Estas son las claves para la búsqueda de los ideales directamente:

1. $\Bbb Q[x]$ es un director ideal de dominio, y así los ideales por encima de $(x^4-1)$ son los generados por los divisores de $x^4-1$. Desde $x^4-1=(x^2+1)(x-1)(x+1)$ es una completa factorización, puede leer todos los divisores de ella (y, por tanto, ver todos los ideales por encima de $I$).

2. El cociente $\Bbb Q[x]/I$ $I\neq 0$ ha finito $\Bbb Q$ dimensión (igual al grado de un polinomio de generación de $I$). Eso significa que es un Artinian anillo, así que el primer ideales son máximas.

3. Por correspondencia, la máxima ideales del cociente son los máximos ideales de la $\Bbb Q[x]$ contiene $I$.

4. En principio ideal dominios, la máxima ideales son las generadas por un valor distinto de cero polinomios irreducibles.

5. La combinación de estos puntos, pueden ver ahora que el primer ideales contener $(x^4-1)$?

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Alternativamente, se puede aplicar el teorema del resto Chino, si usted lo sabe. Se dice que (con $I_1=(x^2+1)$, $I_2=(x+1)$ $I_3=(x-1)$) puesto que el $I_j$ son todos pares comaximal, $\Bbb Q[x]/I=\Bbb Q[x]/(I_1\cap I_2\cap I_3)\cong (\Bbb Q[x]/I_1)\oplus (\Bbb Q[x]/I_2)\oplus (\Bbb Q[x]/I_3)$. El primer cociente es isomorfo a $\Bbb Q(\sqrt{-1})$ y los otros dos son isomorfos a $\Bbb Q$. Así que, este es un producto de tres campos.

Esto es de nuevo Artinian, así que buscar el primer ideales es la búsqueda de la máxima ideales. Por suerte, la máxima ideales de un producto de anillos son fáciles de encontrar: son de la forma $\prod I_i$ donde cada una de las $I_i=R_i$ excepto exactamente un $j$ donde $I_j$ es un ideal maximal de a $R_j$.

Answer 2

Has probado los teoremas de isomorfismo? ¿Sabe usted la dimensión de Krull de un anillo cociente? ¿Sabe usted la suma de dos comaximal ideales es el completo ideal? Tiene usted factoriza la ecuación?