La integración de recíprocos de las funciones conocido antiderivatives

Question

Si $$\int_{}^{} f(x)\,dx$$ se sabe, hay una manera de encontrar directamente $$\int_{}^{} \frac{1}{f(x)}\,dx$$

Answer 1

Considere la función $f(x)$ en una potencia de la serie. Vamos $$\begin{align} f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \, x^{n} \end{align}$$ a continuación, se puede observar que $$\begin{align} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{a_{0}} - \frac{a_{1}}{a_{0}^{2}} \, x + \frac{a_{1}^{2} - a_{2}}{a_{0}^{3}} \, x^{2} + \cdots \end{align}$$ La integración de cada muestra $$\begin{align} \int f(x) \, dx &= a_{0} x + \frac{a_{1}}{2} \, x^{2} + \frac{a_{2}}{3} \, x^{3} + \cdots \\ \int \frac{dx}{f(x)} &= \frac{x}{a_{0}} - \frac{a_{1}}{2 \, a_{0}^{2}} \, x^{2} + \frac{a_{1}^{2} - a_{2}}{3 \, a_{0}^{3}} \, x^{3} + \cdots \end{align}$$