Relación entre dos mapas de $SU(2)$ a $SO(3)$

Question

Tengo dos mapas de $SU(2) \to SO(3)$ .

Para el primer mapa, piense en $SU(2)$ como el grupo de cuaterniones unitarios. Bajo esta identificación, podemos dar un mapa $f: SU(2) \to SO(3)$ dado por $SU(2)$ actuando por conjugación en el subespacio vectorial tridimensional de cuaterniones imaginarios con base $\{i,j,k\}$ .

Ahora piensa en $SU(2)$ como un grupo de transformaciones lineales fraccionarias, es decir, a la matriz $(\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix})$ asociamos la LFT $f(z) = \frac{az + b}{cz + d}$ . Este mapa $f: \hat{\mathbb{C}} \to \hat{\mathbb{C}}$ de la esfera de Riemann puede convertirse en un mapa de una esfera real $S^2$ utilizando la proyección estereográfica sobre el plano ecuatorial, donde se puede extender a una rotación en $\mathbb{R}^3$ , dando otro mapa $g: SU(2) \to SO(3)$ .

Dependiendo de sus convenciones, estos dos mapas pueden no ser idénticos, pero deberían diferenciarse por un cambio de base. De hecho, para la mayoría de las convenciones estándar, el cambio de base será una permutación hasta los signos.

Este resultado puede demostrarse mediante cálculos directos pero dolorosos y poco esclarecedores, que fue lo que hice. Así que mi pregunta es:

¿Hay alguna manera más fácil (más intuitiva, más visual, etc.) de ver esto?

Lo pregunto porque no es muy difícil "ver" intuitivamente estas rotaciones, por lo que podría haber una forma de "ver" que estas rotaciones son las mismas (hasta un cambio de base).

Answer 1

Pues bien, la cuestión es, más o menos, cómo construir una acción natural del grupo de cuaterniones unitarios sobre una esfera mediante transformaciones de Moebius. (Y pregunta relacionada: ¿qué extensión de $Sp(1)$ corresponde a todo el grupo de transformaciones de Moebius). La respuesta es... hay que mirar el cielo nocturno.

Empecemos con un espacio vectorial de 4 dimensiones con una métrica de firma $(1,3)$ . El grupo $SO(1,3)$ actúa sobre la "esfera celeste" (el espacio de las líneas nulas que pasan por el origen) $S^2$ mediante transformaciones de Moebius. En realidad, el mapa inducido $SO^+(1,3)\to PSL_2(\mathbb C)$ es un isomorfismo.

Ahora $\mathbb H$ tiene un producto escalar natural de firma $(1,3)$ - a saber, $(u,v)=\operatorname{Re}(u\bar v)$ . Así que la acción de $Sp(1)$ en $\mathbb H$ por automorfismos internos preserva este producto y obtenemos un mapa $Sp(1)\to SO^+(1,3)$ . Ahora bien, por un lado, esta acción preserva los cuaterniones imaginarios puros, es decir, su imagen se encuentra en $SO(3)$ (y este es su primer mapa $SU(2)\to SO(3)$ precisamente); por otro lado, la imagen de $Sp(1)$ en $PSL_2(\mathbb C)$ es su segundo $SU(2)$ .