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Punto a la izquierda o a la derecha de un plano en el espacio 3D

Tengo un plano alfa determinado por 3 puntos en el espacio. ¿Cómo puedo comprobar si otro punto del espacio está en el lado izquierdo del plano o en el lado derecho?

Por ejemplo, si el plano está determinado por los puntos $A(0,0,0)$ , $B(0,1,0)$ y $C(0,0,1)$ entonces señala $X(-1, 0, 0)$ está en el lado izquierdo del plano y el punto $Y(1,0,0)$ está en el lado derecho del avión.

Necesito una solución rápida para el desarrollo de plugins para una aplicación 3D y no soy muy bueno en matemáticas.

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¿Cómo se define la derecha/izquierda?

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Por ejemplo si el plano está determinado por los puntos A(0,0,0), B(0,1,0) y C(0,0,1) entonces el punto X(-1, 0, 0) está en el lado izquierdo del plano y el punto Y(1,0,0) está en el lado derecho del plano. Perdón por la inexactitud

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Para distinguir los dos lados de un plano, calcula una normal $n$ a ella en algún momento $p$ . Entonces un punto $v$ está en el lado donde la normal apunta a si $(v-p) \cdot n > 0$ y en el otro lado si $(v-p) \cdot n < 0$ .

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Harald Hanche-Olsen Puntos 22964

Llama a los tres puntos que determinan el plano $A$ , $B$ , $C$ y escribir $X$ para el nuevo punto. Formar las tres diferencias $B'=B-A$ , $C'=C-A$ , $X'=X-A$ . Ahora calcule el $3\times3$ determinante de la matriz cuyas columnas (o filas, no importa) son $B'$ , $C'$ , $X'$ . El signo del determinante resultante será positivo para $X$ en un lado del plano y negativo en el otro.

Ahora sólo tienes que averiguar en general qué lado quieres llamar izquierdo y qué lado llamar derecho.

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Hice los cálculos en algunos ejemplos y trabajos. ¡Un gran agradecimiento!

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¿Por qué el determinante se relaciona con los ángulos? ¿Cómo funciona?

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@kuhaku Los comentarios a una respuesta antigua no son el mejor lugar para hacer una pregunta que sólo está relacionada tangencialmente con el tema en cuestión. Si no puedes encontrar una respuesta en los archivos, es mejor que hagas una nueva pregunta. Pero te sugiero que trates de hacerla un poco más específica.

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McKenzieG1 Puntos 5294

Supongo por su comentario que sus planos se cruzan con el $x$ -en exactamente un punto, lo que determina los lados izquierdo y derecho.

Dejemos que $A,B,C$ sean los puntos que determinan el plano. Entonces el producto cruzado $(B-A) \times (C-A)$ nos da una normalidad ${\bf n}$ al avión. Consideremos ahora un punto de prueba $(x,0,0)$ donde $x$ es un gran número positivo. Esto debería estar en el lado derecho del plano. Ahora $((x,0,0) - A) \cdot {\bf n}$ es sólo la primera coordenada de ${\bf n}$ veces $x$ menos alguna constante. Para un tamaño suficientemente grande $x$ el signo del producto punto es entonces sólo el signo de la primera coordenada de ${\bf n}$ . Por lo tanto: Si el signo de la primera coordenada de $n$ es positivo, entonces el lado derecho está formado por los puntos $P$ con $(P - A) \cdot {\bf n} > 0$ y el lado izquierdo está formado por los puntos con $(P - A) \cdot {\bf n} < 0$ . Las desigualdades se invierten si el signo de la primera coordenada de $n$ es negativo.

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