Caracteres en un toro.

Question

Deje $T = (\mathbb{C}^*)^n$. Se dice que los caracteres en $T$ debe ser de la forma $f(t_1,\ldots,t_n)=t_1^{a_1}\cdots t_n^{a_n}$ algunos $a_1,\ldots, a_n \in \mathbb{Z}$. Es posible que $a_i \in \mathbb{C}\backslash \mathbb{Z}$? Muchas gracias.

Answer 1

En general, la expresión $t^a$ es multi-valorado si $t \in \mathbf C^\times$$a \in \mathbf C$, de modo que lo que usted ha escrito no está bien definida. De hecho, desde el $\mathbf C^\times \cong S^1 \times \mathbf R^\times_{>0}$, un personaje de $\mathbf C^\times$ se descompone como producto de un personaje de $S^1$ y un personaje de $\mathbf R^\times_{>0}$. Los personajes de $S^1$ son todos de la forma$z \mapsto z^n$$n \in \mathbf Z$. Por otro lado, el registro da un isomorfismo $\mathbf R^\times_{>0} \cong \mathbf R$, y los personajes de $\mathbf R$ son todos de la forma$x \mapsto e^{2\pi i x t}$$t \in \mathbf R$. Puede que la pieza de este conjunto?