Computación $\operatorname{Ext}^{1}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Q},\mathbb{Z})$

Question

Estoy tratando de encontrar un grupo abelian $B$ tal que $\operatorname{Ext}^{1}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Q},B)$ es distinto de cero. Mi primera suposición era sólo para elegir a $B=\mathbb{Z}$. Mediante el siguiente argumento, deduje que $\operatorname{Ext}^{1}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Q},\mathbb{Z})=\{0\}$, sin embargo, leí esta pregunta, que dice en realidad es distinto de cero, así que estoy asumiendo que hay algo mal con mi argumento:

En primer lugar, tomar la inyectiva resolución de $0\rightarrow{\mathbb{Z}}\rightarrow{\mathbb{Q}}\rightarrow{\mathbb{Q}/\mathbb{Z}}\rightarrow{0}$$\mathbb{Z}$, de forma eliminados de la resolución de $0\rightarrow{\mathbb{Q}}\rightarrow{\mathbb{Q}/\mathbb{Z}}\rightarrow{0}$ (no exacta) y aplicar el $\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Q},\bullet)$ functor suprime la resolución para obtener la no-secuencia exacta

$$0\rightarrow{\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Q},\mathbb{Q})}\rightarrow{\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Q},\mathbb{Q}/\mathbb{Z})\rightarrow{0}}$$

Así que, tan lejos como puedo ver, $\operatorname{Ext}^{1}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Q},\mathbb{Z})$ es el cociente de la meollo de la cero mapa de $\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Q},\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ por la imagen de la surjective mapa que se muestra en la functored secuencia anterior, por lo tanto es cero. Supongo que me he equivocado con la forma en que estoy interpretación de la functored secuencia o con la definición de $\operatorname{Ext}$. Alguien me puede ayudar a entender dónde me han ido mal?

Answer 1

De hecho hay homomorphisms $\mathbb Q\to\mathbb Q/\mathbb Z$ que no son inducidos por un homomorphism $\mathbb Q\to\mathbb Q$.

Para un primer $p$ tenemos la $p$-ádico valor en $\mathbb Q$ $\left |\pm\frac abp^k\right|_p=p^{-k}$ si $a,b$ son de primer a$p$$k\in\mathbb Z$. Para $n\in\mathbb N$ deje $\mathbb Q_n\subset \mathbb Q$ el conjunto de los racionales $x$ $|x|_p\le \frac1n$ todos los $p$. A continuación, $\mathbb Q_n$ es un subgrupo de $\mathbb Q$ y es cíclico con generador de $g_n = (\prod_p p^{\lfloor \log_pn \rfloor})^{-1}$. Un homomorphism $f\colon \mathbb Q\to \mathbb Q/\mathbb Z$ está determinado por la especificación de los valores de $f(g_n)$ tal que $f(g_n)=\frac{g_n}{g_{n+1}}\cdot f(g_{n+1})$ siempre. Tenga en cuenta que $k_n:=\frac{g_n}{g_{n+1}}$ es siempre un número entero y si es $>2$ (lo que ocurre infinitamente a menudo), tenemos varias opciones para $f(g_{n+1}) $, diferenciándose por $\frac1{k_n}$. Al menos una de las opciones posibles que distingue a la mayoría de los $\frac1{2k_n}$$\frac12$, es decir, en $[\frac13,\frac23]$. Al final obtenemos un homomorphism $f\colon \mathbb Q\to \mathbb Q/\mathbb Z$ que no puede venir de un homomorphism $\tilde f\colon \mathbb Q\to \mathbb Q$. De hecho, no tendría qué ser infinitamente muchos $m\in\mathbb N$ $\tilde f(\frac1m)\ge\frac13$ o $\tilde f(\frac1m)\le-\frac13$. Pero, a continuación,$|\tilde f(1)|=m\cdot|\tilde f(\frac1m)|\ge \frac m3$, lo cual es absurdo.