Cómo calcular la suma de la serie infinita

Question

Por favor me ayudan con la suma de la serie infinita: $$\Large \frac{1+\frac{\pi^4}{5!}+\frac{\pi^8}{9!}+\frac{\pi^{12}}{13!}+...} {\frac{1}{3!}+\frac{\pi^4}{7!}+\frac{\pi^8}{11!}+\frac{\pi^{12}}{15!}+...}$$

Answer 1

La serie de $\sinh{x}$ es

$$\sinh{x} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2 k+1}}{(2 k+1)!}$$

La fracción es

$$\pi^2 \frac{g''(\pi)}{g(\pi)}$$

donde

$$g(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{4 k+1}}{(4 k+1)!}$$

Nos encontramos con $g$ por la resolución de la ecuación

$$g''(x) + g(x) = \sinh{x}$$ $$g(0)=g'(0)=0$$

Usted puede resolver esta ecuación a través de la transformada de Laplace, por ejemplo. La solución es

$$g(x) = \frac12 \sinh{x} - \frac12 \sin{x}$$ $$g''(x) = \frac12 \sinh{x} + \frac12 \sin{x}$$

Por lo tanto, la fracción es $\pi^2$.

Answer 2

Evaluar el numerador de la primera.

Considerar la serie $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{4n}}{(4n)!}=1+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots$$ También, $$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\cdots$$ $$\cosh x=\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots$$ Agregar los dos anteriores y se obtiene: $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{4n}}{(4n)!}=\frac{1}{2}(\cos x+\cosh x)\,\,\,\,(*)$$ Integrar ambos lados de los límites de $0$ $\pi$para obtener: $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\pi^{4n+1}}{(4n+1)!}=\frac{\sinh(\pi)}{2} \Rightarrow \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\pi^{4n}}{(4n+1)!}=\frac{\sinh(\pi)}{2\pi}\,\,\,\,\,\,(1)$$

Para el denominador, integrar ambos lados de $(*)$ wrt $x$ tres veces y el sustituto de la $x=\pi$ para obtener: $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\pi^{4n+3}}{(4n+3)!}=\frac{1}{2}\sinh(\pi)\Rightarrow \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\pi^{4n}}{(4n+3)!}=\frac{\sinh(\pi)}{2\pi^3}\,\,\,\,(2)$$ Divida $(1)$ $(2)$ para obtener: $$\boxed{\pi^2}$$

Answer 3

Denominador:

Son sin duda familiarizado con la serie $$\sin x=\frac{x^1}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots$$ ¿Qué pasa si le agregamos la serie para $i\sin(ix)=-\sinh x$?

¿Puedes adivinar cuál sería el correspondiente truco para el numerador?

Answer 4

Sugerencia: $$\sum \frac{x^{4k}}{(4k+1)!} = \frac{\sinh(x)+\sin(x)}{2x}$$ $$\sum \frac{x^{4k}}{(4k+3)!} = \frac{\sinh(x)-\sin(x)}{2x^3}$$