Por qué no la expansión de $e^x$ parecen surgir en la fórmula para la enajenación de $n$ cosas $D_{n}=n!\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!}$

Question

Hace poco estuve jugando con wolframaplha con la expansión de la $e^x$ y me di cuenta de una cosa extraña que en mantener a $x=-1$ (si está permitido!!!).. Me pongo en el lado derecho un extraño infinito expresión (si eso es lo que lo llaman ) de $$e^{-1}=\left(1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}...\frac{-1^n}{n!}....\right)$$ (ignorando por el momento todos los términos después de ${n+1}^{th}$ plazo)...lo que me parece muy similar a la fórmula que he aprendido para la enajenación de $n$ cosas...(si hacemos caso de la infinita naturaleza de la expansión de la $e^x$, y miren el primer $n+1$ términos durante algún tiempo) $$D_n=n!\left(1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}...\frac{-1^n}{n!}\right)$$ Así es esta similitud sólo una coincidencia ..?o están relacionados de ninguna manera..?.. Porque yo no soy capaz de relacionar en cualquier forma, después de todas las $e$ y la alteración en la combinatoria parecen dos muy diferentes temas para mí ...también hay similitud es muy llamativo... Incluso para principiantes como yo...que me parece no puede olvidarse de él.

Answer 1

El siguiente es muy heurístico:

La probabilidad de que un determinado uno de los $n$ de las cosas no está en su lugar adecuado es $1-{1\over n}$. Suponiendo que el $n$ cosas están colocadas correctamente o incorrectamente de forma independiente el uno del otro, la probabilidad de que todas las cosas están mal colocados calcula a $$\left(1-{1\over n}\right)^n\doteq{1\over e}\ .$$

Answer 2

Es a partir de la generación de teoría de la función y el hecho de que tenemos una buena fórmula de recursión para alteraciones: $d_{n+1} = n(d_n + d_{n-1})$$n \ge 1$. Para cualquier contando problema como este, donde la respuesta es $d_n$ $n$ objetos, podemos definir un formal exponencial de la generación de la función $D(x) = \sum_{n=0}^\infty d_n \frac{x^n}{n!}$ (no es normal que la generación de la función sin la $n!$ plazo).

Sabemos que podemos intentar determinar la función de $D(x)$ a partir de la repetición, y de la que obtener los coeficientes $d_n$, esto es funcionado muy bien en esta respuesta, donde podrás ver la conexión.

Answer 3

Hay un montón de cosas que decir aquí. En primer lugar, aquí es una manera de interpretar el resultado: asintóticamente, la probabilidad de que una permutación aleatoria es una alteración es $e^{-1}$. Hay un montón de reclamos relacionados con el usted puede escribir. Aquí son dos:

• Fijo $k$, asintóticamente, la probabilidad de que una permutación aleatoria tiene exactamente $k$ puntos fijos es $\frac{e^{-1}}{k!}$.
• Fijo $k$, asymptoically, la probabilidad de que una permutación aleatoria no tiene $k$-ciclos es $e^{- \frac{1}{k}}$.

Así que, básicamente, hay un montón de $e$ negocio en marcha. Mi forma preferida de pensar en todo esto es a través de una muy grande y hermoso de la generación de la función de llamada de la exponencial de la fórmula, que se puede leer aquí y aquí. Se describe el ciclo de los tipos de todas las permutaciones de forma simultánea, y que se especializa en varias formas extractos de información acerca del ciclo de tipos. Véase, por ejemplo, aquí.