Bueno, en realidad usted está buscando para una de un grupo de parámetros de diffeomorphisms (o isometrías si se refiere al impulso que el vector de campo). Este grupo se obtiene al resolver la ecuación diferencial $$\frac{dx}{ds}= X(x(s))\tag{1}$$
con una genérica de la condición inicial $z$ $s=0$ en el colector de $M$ (el espacio-tiempo de Minkowski en el ejemplo).
$X$ es su campo de vectores en $M$. Las soluciones tienen la forma $$M \times \mathbb R \ni (z,s) \mapsto \phi_s(z)$$
donde $z$ es la condición inicial, que es el punto de $x(0)= \phi_0(x) =z$ y la correcta solución de (1) con la condición inicial, $z$$x_s= \phi_s(z)$.
Resulta que
$$\phi_0 = id\:, \quad \phi_s \circ \phi_r = \phi_{s+r}\:,\quad \phi_{-s}= (\phi_s)^{-1}\:.$$
Cada una de las $\phi_s : M \to M$ es un diffeomorphism. La de un grupo de parámetros de diffeomorphisms asociados a $X$ es de la familia de diffeomorphisms $\{\phi_t\}_{t \in \mathbb R}$.
Generalmente hablando, el grupo sólo es local, es decir, no está definida para todos los valores de $s$ ($s$- dominio depende de $z$), pero no voy a discutir este punto en esta presentación elemental.
En el caso concreto de el impulso de campo vectorial, usted tiene que resolver el sistema
$$\frac{dt}{ds}= x(s)\:,\quad \frac{dx}{ds}= t(s)$$
De esta manera usted encuentra que $\phi_s((t,x))= (t(s),x(s))$ con
$$t(s) = x\sinh(s)+ t\cosh(s)\:, \quad x(s) = x\cosh(s)+ t\sinh(s)\:.$$
Ragarding tu última pregunta acerca de la exponencial de campo vectorial, se puede resolver usted mismo ahora.
