¿Existe una descripción categórica elegante del functor obvio$(\mathrm{Mono}\,\mathbf{Set})^{\mathrm{op}} \rightarrow */\mathbf{Set}$?

Question

La notación. Escribir $*/\mathbf{Set}$ para la categoría de punta fija, y $F : \mathbf{Set} \rightarrow */\mathbf{Set}$ para el libre functor (el "punto contigüidad functor"). Dada una categoría $\mathbf{C},$ escritura $\mathrm{Mono}\,\mathbf{C}$ para el ancho de la subcategoría de $\mathbf{C}$ cuyas flechas son las monomorphisms de $\mathbf{C}$.

La definición. Es evidente que existe una functor $G : (\mathrm{Mono}\,\mathbf{Set})^{\mathrm{op}} \rightarrow */\mathbf{Set}.$ Explícitamente, $G$ se define como sigue. En primer lugar, $G$ se comporta como $F$ cuando se aplica a un objeto. En segundo lugar, dada una función inyectiva $m : X \rightarrow Y$, $G(m)$ es la punta conjunto homomorphism $GY \rightarrow GX$ da de la siguiente manera:

• Si $y \in Y$ es en la imagen de $m$,$G(m)(y)=m^{-1}(y)$.
• Si $y \in Y$ no está en la imagen de$m$, $G(m)(y) = *_X.$

Pregunta. Hay una elegante descripción categórica de la functor $G$?

Motivación. Supongamos $R$ es un anillo. Considerar un conjunto de variables $X$, y un subconjunto $S$ de los mismos. Es evidente que existe una morfismos $e_S : R[X] \rightarrow R[S]$ definieron tomando cada una de las variables en $X\setminus S$$0$, y dejando las otras variables sin tocar. Una forma de describir la morfismos $e_S$ es como sigue. Hay un libre functor $F_{R\mathbf{Alg}} : */\mathbf{Set} \rightarrow R\mathbf{Alg}.$ Ahora $S \subseteq X$, la inclusión $m_S : S \rightarrow X$ da lugar a una "coinclusion" $G(m_S) : GX \rightarrow GS$. Los morfismos $e_S$ entonces puede ser descrito como $F_{\mathrm{R}\mathbf{Alg}}(G(m_S))$.

Answer 1

Para elaborar Zhen Lin comentario, no es un objeto de fijación, contravariante involución en $\mathsf{Rel}$ dado por tomar la relación opuesta. De este modo se limita a un objeto de fijación, contravariante involución $I$ en la categoría de parcial inyecciones (Este es un hecho interesante acerca de parcial inyecciones -- interesantes de otras clases de relaciones, tales como las funciones o funciones parciales o inyecciones o surjections no son cerrados bajo tomando la relación opuesta. Parcial inyecciones son exactamente las relaciones de $R$ tal que para cada a $x$ hay más de un $y$ tal que $xRy$ y en más de una $z$ tal que $zRx$. Si una relación es visto como un palmo $X \leftarrow R \rightarrow Y$ de las funciones, el parcial inyecciones son exactamente las mismas, de forma que ambas piernas de la extensión son las inyecciones).

Su functor es $G = H\circ I \circ J^{\mathrm{op}}$ donde $J$ es la inclusión de las inyecciones en parcial inyecciones, $I$ es la involución parcial de las inyecciones, y $H$ es la inclusión parcial de las inyecciones en funciones parciales (o, equivalentemente, señaló conjuntos).

No estoy seguro de cómo "elegante" o "categórico" esta cuenta es -- a mí me parece que la categoría de teoría, realmente, sólo se utiliza como un lenguaje aquí, para describir algunos hechos básicos acerca de los conjuntos. Cada pieza del rompecabezas presumiblemente generalizada a clases más amplias de las categorías, pero personalmente creo que se tiende a ver como un acto de generalización en lugar de la explicación.