¿Hay una mejor manera de crear variables con una cierta correlación y una de ellas es heteroscedástica?

Question

Mi objetivo es generar dos variables que están correlacionadas y uno de ellos es heteroscedastic con respecto a una variable de agrupación.

Para crear dos variables con un deseada de correlación de la forma más común de hacerlo es utilizar la descomposición de cholesky. Yo, además, utilizar los residuos de la proyección ortogonal y estandarizada de las variables en la parte frontal para asegurarse de que la correlación se mantiene en el valor deseado.

Para introducir la heterocedasticidad para una de las variables que he intentado lo siguiente:

1. Hice la descomposición de cholesky para $u=(u_1,u_2), \ p[i] = c(1,1.01,1.02,1.03,...)$

   $Var(u) = \begin{pmatrix} 1 & \rho\cdot q[i] \\ \rho\cdot q[i] & q[i]^2 \end{pmatrix}$

   La razón por la cual escogí esta matriz de covarianza es que mientras que el la varianza de $u_2$ aumenta con la $q[i]$ la correlación se mantiene en el valor deseado $\rho$.

   Pero esto, obviamente, no introducir heterocedasticidad a $u_2$....

2. Un segundo intento fue descompuesto ambas variables $u_1,u_2$ con un tamaño de muestra de n en dos partes, cada una de longitud $\frac{1}{2}\cdot n$: $\ u_1 = (u_{1.1},u_{1.2}), u_2 = (u_{2.1},u_{2.2})$. Ahora hice la descomposición de cholesky para

   $Var(u) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \rho & \rho\sqrt{q[i]} \\ 0 & 1 & \rho & \rho\sqrt{q[i]} \\ \rho & \rho & 1 & 0 \\ \rho\sqrt{q[i]} & \rho\sqrt{q[i]} & 0 & q[i] \end{pmatrix}$

   Después de que me generan las cuatro variables I fusionado $u_{1.1},u_{1.2}$ a una $n\times 1$ vector. De forma análoga para $u_2$. Las pruebas de los resultados de los rendimientos que la heterocedasticidad es ahora donde debe ser como la varianza de la $u_{2.2}$ aumenta con la $q[i]$. Pero la correlación desaparece como $q[i]$ aumenta debido a que la varianza de $u_2$ aumenta más rápidamente, entonces la covarianza entre el $u_1$ $u_2$

3. Un tercer intento de que termine haciendo fue multiplicar $u_2$ con un muñeco de la variable de

   $z_2 =\begin{cases} 1\\ q[i] \end{cases}$

   Este enfoque no funciona para los valores pequeños de a $q[i]$ (como mi gráfico muestra), pero tan pronto como $q[i]$ es lo suficientemente grande como la que domina el numerador y el denominador de la el coeficiente de correlación tal que la varianza condicional (dependiendo del valor de $z_2$) ya no es aumentar el $q[i]$.

Aquí está mi código para el caso (3):

q     <- seq(1.01,10,0.1)
n         <- 100
rho   <- 0.5
sd_u1     <- numeric(0)
sd_u2.1   <- numeric(0)
sd_u2.2   <- numeric(0)
cor_u1_u2 <- numeric(0)


for(i in 1:length(q)){
u1      <- rnorm(n,0,1)
u1      <- ( u1 - mean(u1) )/sd(u1)
u2      <- rnorm(n,0,1)
z2      <- c(rep(1,0.5*n),rep(q[i],0.5*n))
u2      <- u2*z2
u2      <- as.vector( ( diag(n) - u1%*%solve(t(u1)%*%u1)%*%t(u1) ) %*% u2 )
u2      <- ( u2 - mean(u2) )/sd(u2)
z       <- cbind(u1, rho*u1+sqrt(1-rho^2)*u2) 
sd_u1[i]      <- sd(z[,1])
sd_u2.1[i]    <- sd(z[,2][1:(0.5*n)])
sd_u2.2[i]    <- sd(z[,2][(0.5*n+1):n])
cor_u1_u2[i]  <- cor(z[,1],z[,2])
}
par(mfrow=c(3,1))
plot(q,sd_u1, type="l")
plot(q,sd_u2.1, type="l", ylim=c(0,2))
lines(q,sd_u2.2,col="red")
plot(q,cor_u1_u2, type="l")

Answer 1

Ruscio y Kaczetow (2008) propone un método para inducir una correlación exacta en dos variables aleatorias con distribuciones arbitrarias. Ambas variables pueden disfrutarse desde empírica existente distribuciones, y las distribuciones marginales se reflejan estas distribuciones.

Tienen un acompañamiento R código que funciona (yo lo he utilizado un par de veces). Como algunos pequeños errores de escritura en el código original tuvo que ser corregido: aquí's una limpieza de la versión.

Ruscio, J., & Kaczetow, W. (2008). La simulación no normal Multivariante de Datos Mediante un Algoritmo Iterativo. Multivariante En La Investigación Del Comportamiento, 43(3), 355-381. doi:10.1080/00273170802285693