¿Cómo darle sentido a esta integral?

Question

Deje que $L$ ser el operador de Ornstein-Uhlenbeck en $L^2( \gamma )$ donde $ \gamma $ es la medida gaussiana sobre $ \mathbf R^d$ . Hille-Yosida o Lumer-Phillips pueden ser usados para probar que $L$ genera un semigrupo fuertemente continuo $e^{tA}$ .

Ahora tengo la siguiente integral:

$$ \int_0 ^ \infty (t^2 L)^{N + 1} e^{ \beta t^2 L} u \, \frac { \text {d}t}{t},$$

donde $u \in L^2$ , $ \beta > 0$ .

Esto no parece una integral de Bochner normal. Supongo que necesito algún tipo de cálculo funcional. Me gustaría saber cómo puedo hacer que esta integral tenga sentido.

Answer 1

Tengo una "solución". Es un límite de integrales de Bochner. Quería hacer una discusión de densidad con este operador, así que tuve que probar que es continua.

En primer lugar, note que podemos escalar los cuadrados y el $ \beta $ . Ahora, para estimar la integral

$$ \int_0 ^ \infty (t L)^{N + 1} e^{t L} u \, \frac { \text {d}t}{t}$$ en $L^2( \gamma )$ .

Por lo tanto, este es un espacio Hilbert (¡Por suerte!), así que argumentamos lo siguiente

$$ \begin {align} \left \| \int_0 ^ \infty (t L)^{N + 1} e^{t L} u \, \frac { \text {d}t}{t} \right \|^2 &= \left < \int_0 ^ \infty (t L)^{N + 1} e^{t L} u \, \frac { \text {d}t}{t}, \int_0 ^ \infty (s L)^{N + 1} e^{s L} u \, \frac { \text {d}s}{s} \right > \\ &= \left < \int_ { \mathbf R^2} (st L)^{N + 1} e^{(s + t)L}u \frac { \text {d}s}{s} \frac { \text {d}t}{t}, u \right > \\ &= (N!)^2 \left <u, \right > \\\ &= (N!)^2 \|u\|^2 \end {align}$$

Que es lo que quería.