Si CH no es cierto, esto significa$$2^{\aleph_0}=\aleph_2\:.$ $ ¿Esto implica:$$2^{\aleph_1}=\aleph_3$ $ o el CH se mantiene solo para$\aleph_0$ y$\aleph_1$? Gracias
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No, CH solo dice que$2^{\aleph_0}=\aleph_1$, así que su falla solo dice que$2^{\aleph_0}\ne\aleph_1$. Sabemos que$2^{\aleph_0}\ge\aleph_1$, pero es consistente que$2^{\aleph_0}$ sea cualquier cardinal$\aleph_\alpha$ tal que$\alpha\ge 1$ y$\operatorname{cf}\alpha>\omega$. En particular,$2^{\aleph_0}$ podría ser$\aleph_n$ para cualquier$n>1$.
Si$2^{\aleph_0}=\aleph_2$,$2^{\aleph_1}$ tendría que ser al menos$\aleph_2$, pero podría ser mucho más grande. Por ejemplo, es consistente que$2^{\aleph_0}=\aleph_2$ y$2^{\aleph_1}=\aleph_{17}$.
user27515
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La negación de la Hipótesis continua no implica que sólo hay una infinidad estrictamente entre los números naturales y los números reales. De hecho, dado que cualquier infinita cardenal $\kappa$ hay un cardenal $\lambda \geq \kappa$ tal que $\text{ZFC} + 2^{\aleph_0} = \lambda$ es consistente (suponiendo la consistencia de ZFC, por supuesto).
Incluso si asumimos que $2^{\aleph_0} = \aleph_2$, aún podría ser que $2^{\aleph_1} = 2^{\aleph_0} = \aleph_2$ -- esto sucede, por ejemplo, en virtud de la Correcta Obligando Axioma, o, más sencillamente, bajo el supuesto de que el Axioma de Martin con $2^{\aleph_0} = \aleph_2$. (El Correcto Forzar Axioma es un fortalecimiento de Martin Axioma -- bien, formalmente, un fortalecimiento de $\text{MA} ({\aleph_1})$ - que corrige el tamaño de la continuidad en $\aleph_2$.)
Por otro lado, podemos tener $2^{\aleph_0} = \aleph_2$$2^{\aleph_1} > \aleph_3$. Muy técnicas similares para mostrar la consistencia de $\neg \text{CH}$ se puede aplicar a dar a la anterior.
La declaración más general en este reino de Easton Teorema que esencialmente dice que, salvo algunas restricciones básicas, la función de $\aleph_\alpha \mapsto 2^{\aleph_\kappa}$ pueden ser constantemente arbitraria.
