N bolas y M cajas, probabilidad de que haya al menos 1 caja que contenga al menos 2 bolas

Question

Tengo $N$ bolas y $M$ cajas. Se lanzan bolas a las cajas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 1 caja contenga al menos 2 bolas?

Muchas gracias

Answer 1

Primero hacemos explícito el modelo de probabilidad. Imaginemos que las bolas se lanzan de una en una, y que una bola tiene la misma probabilidad de caer en cualquiera de las casillas. Por tanto, nuestro conjunto de resultados es el conjunto de todos los ordenados $N$ -tuplas $(a_1,a_2,\dots, a_N)$ donde cada $a_i$ es un número entero entre $1$ y $M$ . Estamos asumiendo que todos los resultados son igualmente probables.

Tenga en cuenta que hay $M^N$ resultados.

Encontramos la probabilidad $p$ de la evento complementario que todas las cajas tienen como máximo una bola. Entonces nuestra probabilidad requerida es $1-p$ .

Así que contamos el número de resultados en los que las bolas caen en casillas distintas. Supongamos que $M\ge N$ .

La primera bola tiene $M$ opciones. Para cada una de estas elecciones, la segunda bola tiene $M-1$ opciones. Por cada elección que hagamos de dónde caen las dos primeras bolas, hay $M-2$ opciones para la tercera, y así sucesivamente. Así, el número de resultados en los que todas las bolas caen en casillas distintas es $M(M-1)(M-2)\cdots(M-N+1)$ . De ello se desprende que $$p= \frac{M(M-1)(M-2)\cdots (M-N+1)}{M^N}.$$ La respuesta a la pregunta planteada es entonces $1-p$ .

Observación: Se trata de un problema bien conocido, que suele denominarse Problema de cumpleaños . Existe una amplia bibliografía. Tenga en cuenta que las otras dos respuestas que se dan actualmente son diferentes del de arriba. Eso es porque el modelo implícito que utilizan es que todas las soluciones $(x_1,x_2,\dots,x_M)$ de $x_1+x_2+\cdots+x_M=N$ , donde $x_i$ es el número de bolas en la caja $i$ son igualmente probables. Esto no será así si las bolas se "lanzan" según el modelo que hemos descrito.

Answer 2

$n$ las bolas se pueden distribuir en $m$ cajas en ${n+m-1\choose n}$ formas, total.

$n$ cajas con una bola y $m-n$ Las casillas vacías se pueden permutar en ${m\choose n}$ formas.

Ya que este es el complemento del evento requerido:

$$\mathrm{P}(\text{Q}) = 1-\dfrac{m\choose n}{{n+m-1\choose n}}$$

Answer 3

El evento complementario $A$ es que todos $M$ las cajas contienen $0$ o $1$ bolas. Hay $\binom{M}{N}$ posibilidades para esto (asumiendo que esto es cero si $N>M$ ). En general, tenemos $R=\binom{N+M-1}{M-1}$ posibilidades de distribución $N$ bolas en $M$ cajas, así que $P(A)=\frac{\binom{M}{N}}{R}$ y por lo tanto la probabilidad de su evento es $1-P(A)$ .