¿Por qué falla esta prueba de límite de una secuencia:$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}\neq0$?

Question

Aquí hay una prueba de:

PS

Según la definición de un límite de una secuencia:

PS

Y la prueba es simple, ya que$$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}\neq0, n \in \mathbb{N}$ es un número racional y$$ \lim_{n\to\infty}S_n=A\iff\forall \epsilon\in\Bbb R_{>0}: \exists N\in\Bbb N : \forall n\in \Bbb N_{>N} : |(S_n-A)|<\epsilon,$ es un número real, siempre existe un número real entre 0 y cualquier número racional. Debido a esto, existe un$\frac{1}{n}$ para el cual la condición no puede mantenerse.

¿Por qué esta prueba es incorrecta?

Answer 1

Estás confundido por el orden de los cuantificadores. Si echa un vistazo a la fórmula que aparece en la lista, dice que, dado cualquier número positivo, hay algún número entero positivo, de modo que cada término de la secuencia con un índice no menor que el número entero positivo está cerca del "límite" al menos el valor positivo. número. Así que el límite superior$\varepsilon$ se da primero, y no al revés.

Answer 2

La forma en que funciona: Elija$\epsilon>0$. Puede ser arbitrario, pero debe ser positivo. ENTONCES, puede encontrar un$N$ (dependiendo de$\epsilon$) con la propiedad dada.

Pero no puede encontrar un% FIJADO $N$tal que CADA$\epsilon>0$ funciona. Esto debe fallar porque las diferencias se acercan arbitrariamente a$0$.

El problema es que necesitamos más y más grande$N$ si$\epsilon$ se vuelve más y más pequeño.