¿Cuáles son los mejores resultados conocidos para el estable homotopy grupos de esferas?

Question

Hay un número de maneras para calcular el estable homotopy grupos de esferas. Uno puede, en lugar peculiar considerar estable (co)homotopy de un Eilenberg Maclane espectro como un generalizada (co)homología de la teoría y el uso de Atiyah–Hirzebruch espectral de la secuencia (en la misma forma en la que uno a veces se utiliza la Serre espectral de la secuencia de conocer la información acerca de la $E_{\infty}$ página). Otro enfoque es el uso de la Adams espectral de la secuencia. Aquí se toma un llamado Adams resolución de la esfera (es más sensato hacer esto con espectros a continuación, obtener una verdadera resolución de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ sobre el álgebra de Steenrod). Se obtiene una secuencia espectral que converge a la p-parte de la estable homotopy grupo. Una variante es hacer esto con algunos (lo suficientemente bueno supongo) generalizada cohomlogy teoría que conduce a la Adams–Novikov espectral de la secuencia. Tengo un par de preguntas diferentes:

1. ¿Cuáles son los mejores resultados en este? Veo que aquí se dice que el mejor resultado conocido como el de 2007 fue hasta el 64 madre.

2. El método que da los mejores resultados conocidos?

3. En relación a la (clásica) Adams espectral de la secuencia uno tiene que $E_{2}$ términos (mod 2) por $\mathrm{Ext}_{A}(\mathbb{Z}/2,\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$. Ahora bien, esto es bastante difícil en la cara de que se compute como uno debe de encontrar un aplicables a la libre resolución de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. De hecho, hay un cierto diferencial álgebra graduada llamada que lambda álgebra cuya cohomology es precisamente este. ¿Alguien sabe de buena fuente donde los detalles se trabajó para esto?

4. Después de la última pregunta que me pregunto si alguien conoce alguna buena fuente de diferencias en el Adams espectral de la secuencia?

[Supongo que una respuesta a los últimos 2 preguntas es, probablemente, sólo Ravenel del libro, pero si alguien sabe de algún otro bastante legible cosas, a continuación, que sería más que bienvenido.]

Answer 1

1) Esta Pregunta es un poco vago. Usted podría preguntar acerca de cuán lejos estamos de conocer estos estable homotopy grupos y cuál es el mejor hasta la fecha de referencia es. Esta no es la manera en que las personas se acercan a este problema en la actualidad. Yo creo que Cristiano Nassau cuenta con la más amplia Adams Espectral de la Secuencia de cálculos. Es que lo que te interesa?

2) El Adams Espectral de la Secuencia no es fácil para mejorar en el primer 2. Sin embargo, en algunos de los números primos es un resultado de Haynes Molineros que el de Adams-Novikov SS es un estricto mejora sobre el Adams SS. El $E_2$ plazo de los ANSS es muy difícil de calcular, es un enorme obstáculo para el progreso. De hecho, la Cromática de las SS fue desarrollado con el fin de calcular el $E_2$ plazo de los ANSS.

Hay otros métodos, aunque. El enfoque actual parece ser el estudio de la $K(n)$ $E_n$ local homotopy grupos de esferas por medio de un Descenso/Adams/Homotopy Punto Fijo SS. Estos son lo que la gente está trabajando ahora, el principal obstáculo es, de nuevo, el $E_2$ plazo. Para estos, necesitamos conocer la cohomology de ciertos Profinite grupos con coeficientes en algunos no trivial de los módulos.

3) yo no sé acerca de la Lambda de álgebra, pero usted debería ser capaz de escribir una resolución mínima en un rango pequeño.

4) no Hay un enfoque para un gran número de diferencias en el Adams SS debido a Bob Bruner. Usted puede tomar ventaja de la gran estructura multiplicativa en el Adams filtración. Esto permite que se propaguen las diferencias en dimensiones bajas para obtener otros nuevos. Su muy bien.

Answer 2

Si usted está buscando en Lambda álgebra, el libro verde tiene algunas introducción a la misma. Para algunos de los numerosos ejemplos puedes pasar por caja dos papeles: W. H. Lin $\rm Ext^{4,\ast}_A(\Bbb Z/2,\Bbb Z/2)$ $\rm Ext^{5,\ast}_A(\Bbb Z/2,\Bbb Z/2)$ , y T. W. Chen Determinación de $\rm Ext^{5,*}_\scr A(\Bbb Z/2,\Bbb Z/2)$, donde se trabajó la $E_2$ términos de los Adams espectral de la secuencia de esferas para la filtración 4 y 5, completo con todas las relaciones. Los resultados son bastante complicadas, pero te puedes hacer una idea de cómo funciona.

Answer 3

Todas las respuestas están en un lugar en el libro verde!

De hecho, en el Capítulo 7, en el libro Ravenel utiliza el Adams-Novikov espectral de la secuencia para calcular los primeros mil (estable) se deriva de $p=5$

El mejor método parece ser el de Adams-Novikov espectral de la secuencia de Brown-Peterson (co)homología.

La Lambda de álgebra se puede encontrar en el Capítulo 3 de este libro verde.

También se podría tratar de tener una lectura de McCleary de la 'Guía del Usuario Espectral de las Secuencias de' el clásico Adams espectral de la secuencia es tratada en que (Capítulo 9), y una breve introducción a la Adams-Novikov espectral de la secuencia (Capítulo 11)

Edit: otro comentario. Usted realmente no necesita la Lambda de álgebra para encontrar un (mínimo) gratis resoluciones de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ sobre el álgebra de Steenrod. Eche un vistazo en Mosher y Tangora del libro, o en Allen Hatcher espectral de la secuencia del libro