Densidad de polinomios en espacios ponderados exponencialmente$L^p$.

Question

Deje $p\in [1,\infty)$ y considerar el espacio de Lebesgue espacio real de las funciones con valores de $L^p(\mathbb{R}^d, e^{-\|x\|}\mathrm dx)$ donde $\mathrm dx$ denota la medida de Lebesgue. Puedo llamar a una función de $q:\mathbb R^d\to\mathbb R$ un polinomio si es liso con $n^{\mathrm{th}}$ derivado idéntica a cero para algunos $n$.

Es cierto que las funciones polinómicas son densos en la anterior $L^p$ espacio? Incluso respuestas parciales se agradece! Decir mediante la sustitución de la ponderación con $e^{-\|x\|^{1+\varepsilon}}$.

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Un fracaso en la idea de que el mío fue el primero en observar que las funciones continuas de soporte compacto, $C_c$, son densos y que por SWT, podemos aproximar dichas funciones de manera uniforme sobre compactos establece por polinomios. Pero yo no podía hacer ese trabajo, ya que hay una batalla entre lo bien que se puede aproximar funciones continuas en conjuntos compactos por polinomios y el crecimiento de dichos polinomios fuera de estos conjuntos compactos.

Answer 1

Edit: no entendí la pregunta. Lo siguiente es una prueba de que los polinomios no son densos en $L^p(e^{||x||}dt)$. Luego en la parte inferior es una prueba de que los polinomios son densos en $L^p(e^{-||x||}dx)$$\le p<\infty$.

Los polinomios no son densos en $L^p(e^{||x||}dx)$. La prueba de $d=1$ que fácilmente se puede reescribir para $d\ge1$:

Decir $\phi\in C^\infty_c(\mathbb R)$ es compatible en $[1,2]$. Existe una Schwarz función de $g$$\phi=\hat g$. Dado que todos los derivados de $\phi$ se desvanece en el origen de ello se sigue que $$\int t^k g(t)\,dt=0,\quad k=0,1,\dots$$

Deje $f(t) = e^{-|t|}g(t)$. A continuación, $f\in L^q(e^{|t|}dt)$ por cada $q\in[1,\infty]$ y $$\int p(t)f(t)e^{|t|}\,dt=0$$for every polynomial $p$; hence the polynomials are not dense in $L^p(e^{|t|}dt)$.

Ahora la pregunta: por supuesto, los polinomios no son densos en cualquier interesantes $L^\infty(\mu)$, desde un límite uniforme de polinomios es continua.

Supongamos $1\le p<\infty$. Los polinomios son densos en $L^p(e^{-||x||}dx)$. De nuevo tenemos que dar la prueba de $d=1$. Decir $1/p+1/q=1$.

Nota que a menos que se especifique lo contrario, la notación $L^p$ se refiere a la medida $e^{-|t|}dt$.

Por Hahn-Banach es suficiente para probar esto:

Si $f\in L^q$$\int t^kf(t)e^{-|t|}dt=0$$k=0,1,\dots$$f=0$.

Así que supongamos que $f\in L^q$$\int t^kf(t)e^{-|t|}dt=0$$k=0,1,\dots$ .

Recordar o probar esto:

Si $\delta>0$$\int e^{\delta|t|}|F(t)|\,dt<\infty$, entonces la transformada de Fourier $\hat F$ se extiende a un holomorphic función en la franja de gaza $x+iy$, $|y|<\delta$.

Supongamos que $0<\delta<1/p$ (recordemos que $p<\infty$$1/p>0$).

A continuación, la función de $e^{\delta|t|}\in L^p$, lo $e^{\delta |t|}f(t)\in L^1$:

$$\int e^{\delta|t|}|f(t)|e^{-|t|}\,dt<\infty.$$

Deje $F(t)=f(t)e^{-|t|}$. A continuación, $\hat F$ es holomorphic en una franja horizontal, y la hipótesis de $\int t^kf(t)e^{-|t|}dt=0$ muestra que cada derivados de $\hat F$ se desvanece en el origen. Por lo tanto $\hat F=0$, lo $F=0$, lo $f=0$.