En una transformación homotética general, si dos triángulos tienen lados correspondientes paralelos entonces las líneas que unen los vértices respectivos son concurrentes en el centro homotético. Me preguntaba si lo contrario es cierto. Dados dos triángulos similares en los que las líneas que unen los vértices correspondientes son concurrentes, ¿son los lados correspondientes de los dos triángulos necesariamente paralelos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
editar : Er, oops, aquí hay un contraejemplo. Dejemos que $\triangle ABC$ y $\triangle DEF$ sean triángulos equiláteros, $\triangle ABC\sim\triangle DEF$ con $A$ en $\overline{DF}$ y $B$ en $\overline{EF}$ . Esto significa que $\overleftrightarrow{AD}$ contiene $F$ y $\overleftrightarrow{BE}$ contiene $F$ Así que $\overleftrightarrow{AD}$ , $\overleftrightarrow{BE}$ y $\overleftrightarrow{CF}$ son concurrentes en $F$ pero no es necesario que los lados de los triángulos sean paralelos.
respuesta original errónea: Creo (aunque todavía no tengo una prueba) que, dados dos triángulos similares en los que las líneas que unen los vértices correspondientes son concurrentes, existe una dilatación (posiblemente con factor de escala negativo) centrada en el punto de concurrencia que mapea un triángulo en el otro. Si este es el caso, entonces los lados correspondientes de los triángulos son paralelos porque las dilataciones mapean una línea a una línea paralela.
