Demuestra que la inversa de la matriz de Hilbert tiene entradas enteras

Question

$1 \frac{1}{2} ... \frac{1}{n}$

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} ... \frac{1}{n+1}$

$.$

$.$

$.$

$\frac{1}{n} \frac{1}{n+1} ... \frac{1}{2n-1}$

¿Tiene la inversa de esta matriz entradas enteras? Demuestra tu afirmación.

Pensé en multiplicar cada línea $i$ por $i!$ pero conduce a una solución muy complicada (si es que conduce a una solución).

Fuente: Álgebra lineal Kenneth Hoffman y Ray Kunze. Sección 1.6, ejercicio 12.

Answer 1

La respuesta a su primera pregunta es sí.

No descarte el ejemplo al que se hace referencia en el planteamiento del problema (el caso en el que $n = 3$ ). Ejemplos como el que reproduzco a continuación ayudan a comprenderlo:

Dado $\quad A=\begin{pmatrix}1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5}\end{pmatrix},\qquad$ $A^{-1}=\begin{pmatrix} 9 & -36 & 30 \\ -36 & 192 & -180 \\ 30 & -180 & 180 \end{pmatrix}$ .

Te sugiero que explores la matriz y su inversa para $n = 4$ .

Lo que queremos demostrar es que

$B=\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \ldots & \frac{1}{n} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \ldots & \frac{1}{n+1} \\ \ldots & \ldots & & \ldots \\ \frac{1}{n} & \frac{1}{n+1} & \ldots & \frac{1}{2n-1}\end{pmatrix}$

es invertible y $B^{-1}$ tiene entradas enteras.

Consejos para empezar : La matriz $B$ se conoce como Matriz de Hilbert y las entradas de su inversa pueden representarse como el producto de coeficientes binomiales.