Especificación de composites de morfismos en una localización de una categoría triangulada

Question

Estoy leyendo el libro de Categorías Trianguladas por Neeman. Me han llegado a través de una frase, y no estoy realmente seguro de lo que está tratando de decir. Para aquellos con acceso al libro, es el Comentario 2.1.23.

Deje $\mathcal{D}$ ser triangulados categoría con nidos subcategoría $\mathcal{C}$. Denotar por $\text{Mor}_{\mathcal{C}}$ la clase de morfismos cuya asignación de cono es en $\mathcal{C}$. En la forma habitual, podemos formar la Verdier localización que voy a denotar por $\mathcal{D}/\mathcal{C}$ con un coeficiente de functor $Q : \mathcal{D} \rightarrow \mathcal{D}/\mathcal{C}$. Los morfismos son dadas por los techos (o tramos) y el compuesto de dos componibles abarca está dado por tomar el homotopy la retirada de sus cumbres.

Un compuesto de abarca, a continuación, se ve algo como esto (diagrama del texto) http://tinypic.com/r/2up360i/9

donde $P$ es el homotopy retroceso de $f_{2}$ e $g_{1}$. Aquí $v'$, $f_{1}$, e $f_{2}$ están en $\text{Mor}_{\mathcal{C}}$, y $$Q(g_{2})P(f_{2})^{-1} P(g_{1})P(f_{1})^{-1} = Q(g_{1})P(u)P(v')^{-1}P(f_{1})^{-1}. $$ A continuación, el texto señala que

En otras palabras, para dar dos componibles morfismos $X \rightarrow Y$ e $Y \rightarrow Z$ en $\mathcal{D}/\mathcal{C}$, y su composición, no es otra que la de dar a $X' \rightarrow Y'$, e $Y' \rightarrow Z'$ en $\mathcal{D}$ y mapas de $X' \rightarrow X$, $Y' \rightarrow Y$, e $Z' \rightarrow Z$ en $\text{Mor}_{\mathcal{C}}$ expresando el isomorfismo de hte se puede componer de par en $\mathcal{D}/\mathcal{C}$ con un extensible de par en $\mathcal{D}$.

No tengo idea de lo que se entiende por este comentario. ¿Cómo funciona el argumento de que ese punto implica que? Estoy luchando para ver por qué es cierto, y luchar aún más para ver cómo es simplemente una reformulación de la igualdad anterior. Cómo es una composición de morfismos en el cociente categoría determinada de esa manera, y además, con precisión lo que se entiende por "expresar el isomorfismo de los que se puede componer par de..."?

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

La comparación de Neeman la notación para la imagen, $X',Y',Z'$ convertido $ P, W_2, Z$ mientras $X,Y,Z$ son los mismos en ambos lugares. La vertical morfismos en la imagen son los isos Neeman describe; en la imagen, el isomorfismo $Z'\to Z$ es trivial, pero por supuesto que podría ser trivial y nos gustaría todavía tiene un lugar bien definido de morfismos. En particular, $g_2$ se determina como un mapa en $D/C$ por el resto de los datos, por lo superfluo.