Resolviendo este sistema inhomógeno de dos relaciones de recurrencia lineal.

Question

Tengo este sistema de relaciones de recurrencia (donde $\forall n\in\Bbb N: b^{(n)}, c^{(n)}\in\Bbb R$): $$ \begin{pmatrix}b^{(n+1)}\\c^{(n+1)}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\over2^{n+1}\\0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac34 & \frac14 \\ \frac14 & \frac34\end{pmatrix} \begin{pmatrix}b^{(n)} \\ c^{(n)}\end{pmatrix}. $$

¿Cómo puedo encontrar una fórmula explícita para todas las $b^{(n)}, c^{(n)}$?

Mi pregunta surge de esta pregunta. La última pregunta es trivial para resolver si mi pregunta de arriba es contestada.

Pensé sobre el uso de algunas Teorema de punto fijo, pero los cálculos parecen un poco lioso.

Answer 1

Sugerencia.

Hacer

$$ M=\frac 14\left( \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 1 & 3 \\ \end{array} \right) = V^{\daga}\cdot\Lambda\cdot V,\ \ U_n=\left( \begin{array}{c} b_n \\ c_n \\ \end{array} \right) $$

con

$$ V = \frac{1}{\sqrt 2}\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 1 \\ \end{array} \right) $$

y

$$ \Lambda = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & \frac 12 \\ \end{array} \right) $$

Entonces

$$ U_{n+1}=V^{\daga}\cdot \Lambda\cdot V\cdot U_n + \delta_n $$

Esta es una recurrencia lineal con la solución

$$ U_n = U_n^h+U_n^p\\ U_{n+1}^h - M\cdot U_n^h = 0\\ U_{n+1}^p - M\cdot U_n^p =\delta_n $$

entonces

$$ U_n^h = V^{\daga}\cdot\Lambda^n\cdot V\cdot C_0 $$

ahora llamando $U_n^p = V^{\dagger}\cdot \Lambda\cdot V\cdot C_n$ y sustituyendo tenemos

$$ V^{\daga}\cdot\Lambda^{n+1}\cdot VC_{n+1}=V^{\daga}\cdot\Lambda^{n+1}\cdot VC_n +\delta_n $$

dando

$$ C_{n+1}-C_n = V\Lambda^{-(n+1)}\cdot V^{\daga}\cdot \delta_n = \frac 14\left( \begin{array}{c} 2+2^{-n} \\ -2+2^{-n} \\ \end{array} \right) $$

etc.

y, finalmente,

$$ U_n = V^{\daga}\cdot\Lambda^n\cdot V\cdot\left(C_0+C_n\right) $$

NOTA

De acuerdo con @G Cab llamando $W = V\cdot U$ e $\rho = V\cdot\delta_n$ podemos escribir también

$$ W_{n+1} = \Lambda\cdot W_n + \rho_n $$

que es más fácil de manejar.