Serie convergente casi seguro pero divergente en la media

Question

Estoy buscando un ejemplo de independiente, no negativo variables aleatorias $X_1, X_2, \dots$ tales que

$$ \sum_{n=1}^{\infty} X_n \, \lt \, \infty $$

casi con toda seguridad, pero

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{E}(X_n) \, = \, \infty $$

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Me pueden encontrar ejemplos de secuencias que converge casi seguramente, pero divergen en la media, pero parece que no puede ser capaz de cocinar un ejemplo con una serie.

Answer 1

Por ejemplo, tome $X_n$ st $P(X_n = 2^n) = \frac{1}{2^n}$ , $P(X_n = 0) = 1 - \frac{1}{2^n}$ . Entonces, como todos, pero finamente, muchos $X_n$ son ceros, así que $\sum X_n$ converge como, pero $\mathbb E (X_n) = 1$ , así que las series de promedios divergen.