¿Cuál es el número esperado de los primeros años en la vida de la longitud de la $x$ años, a partir de
año $n$?
El número exacto se $\pi(n+x)-\pi(n)$ donde $\pi(y)=\sum_{p\leq y}1 $ es la primer función de conteo, pero ¿de cuánto esperamos que este ser?
Los números primos están distribuidas alrededor de $n$ con densidad de $\frac{1}{\log n}$, por lo que el número esperado sería de entre el $\frac{x}{\log n}$$\frac{x}{\log (n+x)}$. Siempre que $n$ es mucho más grande de lo $x$, esto le da a $\frac{x}{\log n}$ como el número esperado de los primeros años. Suponiendo que un hombre nacido en $2000$ vida a la edad madura de $100$, esta estimación da aproximadamente $13$ de los números primos en su vida. En realidad, hay $14$ números primos entre $2000$$2100$, que no está lejos.
Sin embargo, observe que si tomamos $n$ a ser muy grandes, es posible que una persona puede vivir a $100$ y nunca la experiencia de un primer año. En efecto, supongamos que una persona nació en el año $K=101!+1$. Entonces, incluso si viven una larga vida, y morir en $100$ años de edad, que nunca han experimentado un primer año, ya que cada uno de $101!+2$, $101!+3$, $101!+4$,...,$101!+101$ son compuestos.
En la dirección opuesta, el Brun-Titchmarsh teorema nos dice que $$\pi(x+n)-\pi(n)\leq \frac{2x}{\log x},$$ which gives us an upper bound on the number of prime years one can experience. Even if one were to live to be $200$ years old, they would not see more than $75$ los números primos, independientemente de cuando ellos nacieron.
Añadido: La densidad de los números primos, que es$\frac{1}{\log n}$$n$, va a cero, como se $n\rightarrow\infty$, así que a menos que la esperanza de vida aumenta con el tiempo, se espera que el número de números primos con experiencia en el promedio de vida se converge a cero. Una persona nacida alrededor del año $1$ millones A. D. esperaría ver sólo 7 de los números primos si ella fuera a vivir a $100$. Para lograr el mismo número esperado de primos como una mujer que nació cerca del año $2000$, ella tendría que vivir a $190$.
Esto también puede ser utilizado para dar una buena idea de cómo lentamente $\log x$ crece. Para que un individuo espera que el número de números primos a ser menos de $1$ en su vida, se tendría que nacer el pasado año $10^{44}$ A. D., y considerando que las mejores estimaciones de la muerte del sol en torno a $4\times 10^9$ A. D., este está muy lejos.
De hecho, para la próxima $368000$ años, cada individuo que vive a $100$ experiencia de al menos uno de primer año. Sin embargo, no hay ninguna primera a través de una $114$ año período de $370261$ A. D. a $370365$ A. D., así que por el desafortunado individuo nacido en $370261$ A. D., van a experimentar los primeros años, a menos que vivir más de 114 años de edad.
