Vamos a utilizar Lebnitz y la regla de L'Hospital.
$$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int _{0}^{\sin x} \sqrt{\tan x} dx}{\int _{0}^{\tan x} \sqrt{\sin x} dx}$$
$$= \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{\tan(\sin x)} \cos x}{\sqrt{\sin(\tan x)} \sec^2 x}$$
$$=\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{\tan(\sin x)}}{\sqrt{\sin(\tan x)}}$$
Debido a $\cos x \to 1$ como $x \to 0$.
Ahora sólo para hacer la vida más simple, vamos a calcular el límite de la plaza de la expresión y, a continuación, vamos a tomar la raíz cuadrada positiva de que el resultado en la final. Así que, esencialmente, vamos a calcular:
$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(\sin x)}{\sin(\tan x)}$$
Ahora ya los dos siguientes identidades: se
$$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1 \quad (1)$$
$$\lim_{t \to 0} \frac{\tan t}{t} = 1 \quad (2)$$
Vamos a multiplicar por $\sin x$ e $\tan x$.
$$=\lim_{x \to 0} \frac{\tan(\sin x) \tan x \times \sin x}{\sin(\tan x) \tan x \times \sin x}$$
El uso de $(1)$ e $(2)$, obtenemos
$$=\lim_{x \to 0} \frac{\tan(\sin x) \tan x \times \sin x}{\sin(\tan x) \tan x \times \sin x}$$
$$=\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\tan x}$$
$$=1$$
Ahora ya hemos calculado el límite de la plaza, tenemos que tomar la raíz cuadrada positiva (aunque intrascendente).
Respuesta Final: $1$.
