¿Cómo puede este sistema no ser asintóticamente estable?

Question

Actualmente estoy estudiando la estabilidad de sistemas no autónomos con el libro de Control no Lineal Aplicado por Slotine Y Li. En la página 125, no es el ejemplo 4.13:

$$ \begin{align} \dot{e} &= -e + \theta \, w(t) \\ \dot{\theta} &= -e \, w(t) \end{align} \etiqueta{1} $$

con $w(t)$ un delimitada, continuo pero de otra manera arbitraria variable en el tiempo de la función. Ellos consideran que la función de Lyapunov

$$V(e, \theta) = e^2 + \theta^2$$

con derivados

$$\dot{V}(e, \theta) = -2 e^2 \leq 0 \tag{2}$$

por lo $e$ e $\theta$ son acotados. Luego, utilizan Barbalat del lema para mostrar que $\dot{V}(e, \theta) \rightarrow 0$ como $t \rightarrow \infty$, por lo que también se $e \rightarrow 0$. Luego dicen:

Tenga en cuenta que, a pesar de $e$ converge a cero, el sistema no es asintóticamente estable, debido a que $\theta$ sólo está garantizada para ser acotada.

Sin embargo, no es así: Si $e \rightarrow 0$ , entonces esto implica que $\dot{e} \rightarrow 0$ así. Así, por $t \rightarrow \infty$, sistema de $(1)$ reduce a

$$ \begin{align} 0 &= \theta \, w(t) \\ \dot{\theta} &= 0 \end{align} \etiqueta{3} $$

Debido a $w(t)$ puede ser arbitraria de todos los tiempos, la primera ecuación de $(3)$ es cierto sólo si $\theta \rightarrow 0$ así. La segunda ecuación de $(3)$ también confirma que el $\theta$ no cambia más para $t \rightarrow \infty$.

Por lo tanto, mi conclusión sería: Desde $e \rightarrow 0$ e $\theta \rightarrow 0$, el sistema en realidad es asintóticamente estable. Sin embargo, esto está en contradicción con la cita de arriba.

Pregunta: Básicamente dos preguntas:

1. ¿Dónde está el error en mi razonamiento? O es en realidad correcta y el libro que está mal?

2. Es el sistema de $(1)$ ahora asintóticamente estable o no?

Nota: también he probado algunas funciones como $w(t) = \sin(t)$ con diferentes condiciones iniciales de la simulación, y al menos para estos ejemplos, el sistema siempre parecía converger a $(0,0)$.

Answer 1

Es un problema estándar de control adaptativo y la estimación. Para asegurarse de que $\theta$ converge tiene que asumir algo acerca de $w$. La necesaria condición se conoce como persistencia de la excitación: existen $T>0$ e $a>0$ tal que para todos los $t$ $$\int_{t}^{t+T}w(s)w^\top(s)ds \ge aI.$$

Por ejemplo, $w(t)\equiv 0$ o $w(t) = e^{-t}$ no son persistentemente emocionante.

Answer 2

Primero de todo, $e \to 0$ no, en general, implica que $\dot e \to 0$ (ver la advertencia acerca de esto en la página. 122).

Pero no creo que ese es el principal problema con tu argumento. El problema parece ser que van a ir al límite de $t \to \infty$ en algunos términos, manteniendo $t$ en otros términos. Pero es el mismo $t$ todas partes, así que si $t \to \infty$ en un solo lugar, tiene que hacerlo en todas partes.

Uno puede imaginar un escenario donde $w(t) \to 0$ como $t \to \infty$, y donde la $(e,\theta)\to (0,\theta_0)$ para algunas constantes $\theta_0 \neq 0$ (de tal forma que $\dot e \to 0$ e $\dot \theta \to 0$). No he pensado profundamente acerca de la muestra que esto es realmente posible, pero al menos es coherente con las Odas: en $\dot e = - e + \theta \, w(t)$ todos los tres términos tienden a cero, y de manera similar en $\dot \theta = -e \, w(t)$ ambos términos tienden a cero.

Answer 3

Tenemos

$$ e\dot e+e^2-e\theta w(t) =0\\ \theta\dot\theta +\theta e w(t) = 0 $$

después de la adición de

$$ \frac 12\frac{d}{dt}(e^2+\theta^2)=-e^2 $$

así que mientras a $e \ne 0$ suponiendo que $\theta = \theta_0\ne 0$ tenemos que el movimiento va del punto de equilibrio $(0,\theta_0)\ne (0,0)$ por lo tanto no hay estabilidad asintótica es posible.