Pregunta sobre por qué la categoría de conjuntos no es equivalente a su doble.

Question

Estoy tratando de entender por qué $Set$ (categoría de conjuntos) no es equivalente a $Set^{op}$.

Para ello nos muestran que

1. Todos los morfismos en el objeto inicial en Conjunto es un isomorfismo
2. Hay un morfismos en un objeto inicial en $Set^{op}$ que no es un isomorfismo.

Es mi razonamiento correcto en cuanto a por qué podemos concluir que el resultado:

Supongamos $F$ es un functor involucrados en una equivalencia entre Set y $Set^{op}$. Deje $F(\emptyset) = \{*\}$ un objeto inicial en $Set^{op}$ (equivalencias preservar colimits). A continuación, $F$ es totalmente fiel y esencialmente surjective. Ahora toma un conjunto $A$ tal que $A\rightarrow \{*\}$ no es un isomorfismo en $Set^{op}$. Debe haber un conjunto de $B$ tal que $F(B)$ es isomorfo a $A$. Así obtenemos un mapa de $\psi: F(B)\rightarrow \{*\}$. Es evidente que esto no puede ser un isomorfismo (otra cosa el mapa anterior sería demasiado). Así que tenemos un mapa, $\psi: F(B)\rightarrow F(\emptyset)$ e $F$ total significa que no hay un mapa de $f:B\rightarrow \emptyset $ tal que $F(f) = \psi$. Pero si $f$ es un isomorfismo, entonces también lo es $F(f) = \psi$, una contradicción.

Es este razonamiento correcto?

Answer 1

La prueba es correcta. Sólo hay un detalle que puede necesitar algún tipo de justificación. Usted dice:

Ahora toma un conjunto $A$ tal que $A \to \{*\}$ no es un isomorfismo en $Set^{op}$.

Probablemente debería justificar por qué $A$ y un flecha existen.

Por supuesto, que es bastante simple, por ejemplo, tomar $A = \{0,1\}$ y asumir la función $\{*\} \to \{0,1\}$ envío de $*$ a $0$. Claramente, este no es un isomorfismo en $Set$, por lo que esto nos da una flecha $\{0,1\} \to \{*\}$ en $Set^{op}$ que no es un isomorfismo.

Ahora, esto era justo que yo sea nitpicky, pero puesto que la totalidad de la prueba se basa en que el solo hecho de que puede ser vale la pena ser más explícito al respecto.