Compacidad de conjuntos finitos.

Question

En rudin del análisis de los libros, que él define la compacidad como: Un subconjunto $K$a de un espacio métrico $X$ es ${\bf compact}$ si toda cubierta abierta de a$K$ contiene un número finito de subcover. Más explícitamente, es que si $\{ G_{\alpha} \}$ es una cubierta abierta de a$K$ a continuación, se puede seleccionar un número finito de índices, de manera que $K$ está contenido en $G_{\alpha_1} \cup ... \cup G_{\alpha_n } $

Rudin afirma que un conjunto finito es compacto como un hecho evidente. Estoy tratando de verificar este hecho a mí mismo:

verificación:

Deje $F$ ser un conjunto finito y escribo como $\{ a_1,...,a_n \}$ Tomar cualquier abra la cubierta $\{ G_{\alpha} \}$ de $F$. Podemos considerar el abrir las bolas centradas en $a_i$ y deje $B_i$ ser dicha bola. A continuación, $B_1 \cup ... \cup B_n$ contiene $F$. Ahora, esto parece incompleta como debemos mostrar que esta unión finita de abiertos de bolas es en $\cup_{\alpha } G_{\alpha}$. ¿Cómo podemos comprobar esto?

Answer 1

Existe un conjunto abierto que cubre $a_1$

Existe un conjunto abierto que cubre $a_2$

Existe un conjunto abierto que cubre $a_3$

Existe un conjunto abierto que cubre $a_4$

Existe un conjunto abierto que cubre $a_5$

Existe un conjunto abierto que cubre $a_6$

Existe un conjunto abierto que cubre $a_7$

Existe un conjunto abierto que cubre $a_8$

Existe un conjunto abierto que cubre $a_9$

Existe un conjunto abierto que cubre $a_{10}$

Existe un conjunto abierto que cubre $a_{11}$

Existe un conjunto abierto que cubre $a_{12}$

Existe un conjunto abierto que cubre $a_{13}$

Existe un conjunto abierto que cubre $a_{14}$

Existe un conjunto abierto que cubre $a_{15}$

Existe un conjunto abierto que cubre $a_{16}$

Existe un conjunto abierto que cubre $a_{17}$

Existe un conjunto abierto que cubre $a_{18}$

Existe un conjunto abierto que cubre $a_{19}$

Existe un conjunto abierto que cubre $a_{20}$

Existe un conjunto abierto que cubre $a_{21}$ ... ... ...

Existe un conjunto abierto que cubre $a_{n}$

Es un largo pero finito lista, por lo que es finito subcover.

Answer 2

No hay ninguna garantía de que cualquiera de las $B_i$ están en el conjunto $\{G_{\alpha}\}$. Por ejemplo, podríamos tener $\{G_{\alpha}\} = \{F\}$.

El punto de compacidad es que usted realmente encontrar una subcover de cualquier da de la cubierta. En este caso, se puede argumentar de la siguiente manera: supongamos que tenemos una cubierta $\{G_\alpha\}$ de $F = \{ a_1, \ldots, a_n \}$. Para todos los $i$, recoger algunas $G_{\alpha_i}$ que contiene $a_i$ (sabemos que tal sistema existe porque $\{G_\alpha\}$ cubre $F$). A continuación, $\{G_{\alpha_1},\ldots,G_{\alpha_n}\}$ es finita subcover.

Observe cómo la compacidad en realidad es una consecuencia de la finitud de $F$, es decir, una propiedad de $F$, y no estamos usando las propiedades de la tapa, ya que no sabemos de lo que parece a priori.