Partícula en un círculo con flujo magnético $.$

Question

Estoy tratando de entender el modelo estudiado en 1905.09315 §2, a saber, un $0+1$ teoría dimensional con espacio objetivo $\mathbb S^1$ con flujo magnético no trivial: $$ \mathcal L=\frac12m\dot q^2-\frac{i}{2\pi}\theta\dot q\tag{2.1} $$ donde $q\colon \mathbb R\to \mathbb S^1$ una variable angular, y $\theta\in \mathbb S^1$ el flujo magnético.

El objetivo principal de la sección es estudiar lo que ocurre cuando hacemos $\theta$ depende de la posición, $$ \mathcal L_\theta\to -\frac{i}{2\pi}\theta(t)\dot q(t) $$ cuya acción $$ -\frac{i}{2\pi}\int_\mathbb R\theta(t)\dot q(t)\mathrm dt\tag{2.3} $$ está aparentemente mal definida. Para solucionar esto, los autores introducen parches locales $\mathbb S^1=\cup_i U_i$ y un ascensor $\tilde\theta_i\colon U_i\to\mathbb R$ tal que, en $U_i\cap U_{i+1}$ tenemos $\theta_i=\theta_{i+1}+2\pi n_i$ para algún número entero $n_i$ . Con esto, los autores establecen $$ S_\theta=i\sum_{i=1}^n\left[\frac{1}{2\pi}\int_{t_{i-1}}^{t_i}\tilde\theta_i(t)\dot q(t)\mathrm dt-n_i q(t_i)\right]\tag{2.6} $$ donde $t_i$ es algún punto en $U_i\cap U_{i+1}$ . Parece como si los autores consideraran implícitamente $\theta$ como una sección de un haz de círculos y no como una función. (En el documento siempre escriben la acción en forma exponencial; esto es probablemente más correcto, porque sólo se define mod $2\pi$ pero sólo escribo el argumento aquí para simplificar la notación).

Además, los autores afirman que si $\theta$ no es constante (y tiene un número de devanado distinto de cero), entonces la simetría de desplazamiento $q\to q+\chi$ se rompe, y esto se considera como una anomalía, de donde se puede deducir que el estado básico no puede ser trivial para todo $\theta\in\mathbb S^1$ .

Preguntas :

1. ¿Por qué es $(2.3)$ mal definida, y cómo $(2.6)$ ¿arreglar este problema?
2. ¿Por qué la ruptura de $q\to q+\chi$ ¿Implica que el estado básico debe volverse degenerado en algún punto del espacio de parámetros?

Answer 1

1. Se supone que la densidad lagrangiana es un $\mathbb{R}$ -función valorada. Mientras sólo incluya las derivadas de las funciones sobre el círculo, es sencillo $\mathbb{R}$ -porque las derivadas son valoradas en el espacio tangente y el espacio tangente de una variedad 1d es $\mathbb{R}$ .

   Sin embargo, $\theta$ es $S^1$ -valorado, por lo que, a primera vista, el término $\theta(t)\dot{q}(t)$ es no un $\mathbb{R}$ -objeto valorado. En realidad no es un objeto porque no está claro cuál es la operación entre $\theta$ - un punto en $S^1$ - y $\dot{q}$ - un vector en el espacio tangente de $S^1$ - se supone que es. Por lo tanto, (2.3) está mal definida sin necesidad de más detalles.

   La expresión en los parches locales soluciona esto porque el $\bar{\theta}_i$ son $\mathbb{R}$ -valorado. Esta expresión "debería" pensarse como $\exp\left(\int_{S^1} \theta \mathrm{d}q\right)$ y es el equivalente a las integrales de línea de Wilson $\exp\left(\int_\gamma A\right)$ para campos gauge genéricos, donde si la línea de Wilson se encuentra en más de un parche, se obtiene una expresión muy similar cuando se escribe en coordenadas locales.

   $\theta$ aquí está realmente una sección del paquete $\mathbb{R} \to \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z} = S^1$ donde se debe pensar en el l.h.s. $\mathbb{R}$ como una hélice con el mismo radio que el círculo.

2. Acoplamiento de la teoría a un campo gauge de fondo $A$ a la constante $\theta$ vemos que variando suavemente de $0$ a $2\pi$ incurre en un término anómalo para la simetría de desplazamiento $\chi$ en la función de partición (la ec. de los autores (2.11)) $A$ : $$ Z[\theta + 2\pi,A] = Z[\theta,A]\exp\left(-{\mathrm{i}\int A \mathrm{d}t}\right)$$ y el término anómalo es discreto ("cuantización del flujo") y puede interpretarse como un salto discreto en el nivel de Chern-Simons del campo de fondo.

   Obsérvese que el término anómalo tiene exactamente la forma de la anomalía para la simetría de desplazamiento global al variar $\theta$ si uno identifica $A = \dot{\theta}\chi$ . No es la ruptura de la simetría global lo que implica el estado base degenerado, sino que la ruptura también implica esta anomalía de salto discreto en un fondo donde esa simetría global es gauged.

   Esto significa que debe haber un estado básico no único en algún lugar de $\theta\in[0,2\pi)$ por el siguiente razonamiento (simplemente estoy reformulando el argumento de los autores en la página 23 de forma un poco más explícita):

   Al variar $\theta$ suavemente, la energía del estado básico con el que empezamos también varía suavemente. En este sentido, también saber que la teoría es realmente $2\pi$ periódica cuando giramos el fondo $A$ apagado, es decir, alcanza de nuevo el mismo espectro. Como en principio se pueden escalar los niveles de energía tan lejos como se quiera, hay una versión de esta teoría en la que la función de partición está fuertemente dominada por el estado básico, pero la anomalía no se ha reducido en absoluto, por lo que parece que el "estado básico" ha cambiado.

   Esto ocurre cuando hay un paso a nivel para $\theta \in [0,2\pi)$ ya que entonces el estado de tierra se degenera con un estado de nivel superior en algún momento, tras lo cual el estado de nivel superior se convierte en el estado de tierra. No se nos "permite" cambiar a este nuevo estado de tierra en el punto de degeneración porque estamos variando $\theta$ suavemente, pero esto no produciría una $E(\theta)$ (si se toma la mitad inferior de un cruce de dos líneas, se obtiene una forma de triángulo, no una línea suave), por lo que la variación suave en $\theta$ no puede detectar esto.

Answer 2

El parámetro de flujo $\theta$ pertenece a $U(1)$ porque sólo se puede medir mediante un experimento de dispersión Aharonov-Bohm cuya sección transversal depende de $\sin(\frac{\theta}{2})$ lo que implica que $\theta$ sólo se puede medir el módulo $2 \pi$ o $e^{i\theta} \in U(1)$ .

Así, para ser precisos, la condición $\theta \in \mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z}$ indica que $\theta$ pertenece al álgebra de Lie del grupo electromagnético $U(1)$ (no una sección en un $U(1)$ paquete).

Cabe mencionar que existe una generalización no abeliana donde los flujos como $\theta$ se generalizan a holonomías pertenecientes a un grupo gauge no abeliano $G$ : $$G \ni h = \mathrm{P} e^{i\int A}$$

Con $A$ siendo una conexión plana( $F_A=0$ ). Por ejemplo, los modelos de Higgs no belianos en $2+1$ dimensiones tienen este tipo de soluciones de vórtices no abelianos.

Antes de responder a su segunda pregunta, permítame remitirle a Balachandran y de Queiroz donde evalúan explícitamente en la sección 2, la acción de la paridad $P$ y la inversión del tiempo $T$ operador en este sistema. Muestran que $P$ y $T$ son anómalos excepto en $\theta=0$ y $\theta = \pi$ pero su producto $PT$ no lo es. (Según el $CPT$ el teorema el producto puede ser tomado como la conjugación de la carga $C$ ).

Siendo así, el problema que Córdova, Freed, Lam y Seiberg quieren abordar es por qué en el punto $\theta=0$ el estado básico es único y en $\theta = \pi$ no lo es. Mientras que el $\theta=0$ puede ser explicado por el teorema de Kramer para los bosones: Hay un vacío único y la teoría está vacía, el caso $\theta=\pi$ necesita una explicación.

Antes de proseguir, permítanme mencionar que su atribución de la degeneración del estado básico a una anomalía se basa en la relación de la anomalía con el teorema del índice: siempre que haya una anomalía (manifestada por la no invariancia de la función de partición por a $1-$ cocycle), existe una representación de vacío degenerada de la simetría.

Su explicación se basa en la noción de simetría gauge mixta (generalizada) en la que argumentan que la conjugación de carga junto con la simetría U(1) ,juntas, se unen en una simetría gauge mixta en la que la $U(1)$ La simetría es generada por un $-1$ forma (una forma negativa) del campo gauge y la inversión del tiempo por medio de un campo gauge discreto. Esta es la simetría que es anómala en $\theta=\pi$ y da lugar a la degeneración del estado básico.