Encuentre todas las raíces de la ecuación:$(1+\frac{ix}n)^n = (1-\frac{ix}n)^n$

Question

Esta pregunta es tomado del libro: Cálculo Avanzado: Una Introducción al Análisis Clásico, por Luis de la Marca. El libro se ocupa de introducción análisis real.

Puedo solicitar para ayudar a encontrar la solución.

Si $n$ es un entero positivo, encontrar todas las raíces de la ecuación : $$(1+\frac{ix}n)^n = (1-\frac{ix}n)^n$$

El binomio de expansión en cada lado a:

$$(n.1^n+C(n, 1).1^{n-1}.\frac{ix}n + C(n, 2).1^{n-2}.(\frac{ix}n)^2 + C(n, 3).1^{n-3}.(\frac{ix}n)^3+\cdots ) = (n.1^n+C(n, 1).1^{n-1}.\frac{-ix}n + C(n, 2).1^{n-2}.(\frac{-ix}n)^2 + C(n, 3).1^{n-3}.(\frac{-ix}n)^3+\cdots )$$

$n$ puede ser par o impar, pero los términos en l.h.s. & r.h.s. cancelar incluso para $n$ como poder de $\frac{ix}n$. De todos modos, los primeros términos se cancelan uno al otro.

$$(C(n, 1).1^{n-1}.\frac{ix}n + C(n, 3).1^{n-3}.(\frac{ix}n)^3+\cdots ) = (C(n, 1).1^{n-1}.\frac{-ix}n + C(n, 3).1^{n-3}.(\frac{-ix}n)^3+\cdots )$$

Como el término lo $(1)^{n-i}$ para $i \in \{1,2,\cdots\}$ no importa en términos de productos, por lo que los ignoran:

$$(C(n, 1).\frac{ix}n + C(n, 3).(\frac{ix}n)^3+\cdots ) = (C(n, 1).\frac{-ix}n + C(n, 3).(\frac{-ix}n)^3+\cdots )$$

$$2(C(n, 1).\frac{ix}n + C(n, 3).(\frac{ix}n)^3+\cdots ) = 0$$

$$C(n, 1).\frac{ix}n + C(n, 3).(\frac{ix}n)^3+\cdots = 0$$

Incapaz de proseguir.

Answer 1

Sugerencia: ponga $$z=\frac{1+i\frac{x}{n}}{1-i\frac{x}{n}}$$ then $ z$ will be a $ n$-root of unity and solve for $ x:$ $$z= \frac{1+i\frac{x}{n}}{1-i\frac{x}{n}}=\exp{\left(i\frac{2k\pi}{n}\right)},\quad k\in\{0,1,...,n-1\}$ $

Answer 2

Deje $1=r\cos t,\dfrac xn=r\sin t$

Usando http://mathworld.wolfram.com/deMoivresIdentity.html

$ r^n(\cos nt+i\sin nt)=r^n(\cos nt-i\sin nt)$

$\iff \sin nt=0$

$\implies nt=k\pi$

$ \dfrac xn=\tan t=\tan\dfrac{k\pi}n$ donde $0\le k\le n-1$