Sobre "Un problema elemental equivalente a la hipótesis de Riemann"

Question

Deje $H_{n}$ ser $n$ésimo número armónico. En Lagarias del papel "Un Problema Elemental Equivalente a la Hipótesis de Riemann," muestra que la declaración de $$\sum_{d\mid n}d\leq H_{n}+\exp(H_{n})\log(H_{n})\tag{1.1}$$ for every positive integer $n$, with equality if and only if $n=1$, es equivalente a la hipótesis de Riemann.

En el último párrafo de la sección $2$, dice,

Uno puede demostrar que incondicionalmente que la desigualdad $(1.1)$ tiene casi todos los números enteros. Incluso si la hipótesis de Riemann es falso, las excepciones a la $(1.1)$ va a formar una muy escasa conjunto. Además, si no existe ningún contraejemplo a $(1.1)$ el valor de $n$ va a ser muy grande.

Tan lejos como puedo ver, ninguna de estas afirmaciones está justificado, ni siquiera sugerido, por nada en el papel, aunque puede ser demasiado sutil para mí, por supuesto.

Puede alguien darme una referencia que justifique esas declaraciones, y la cuantificación de los términos "casi todos los números enteros", "muy disperso conjunto", "muy grande"? Supongo que los dos primeros significa "densidad" $1$" y "densidad" $0$" para algunos definición de densidad, pero la última parece indicar que la instrucción se conoce para ser verdad por debajo de un determinado obligado, y parece extraño que el obligado no se menciona.

Answer 1

En la prueba del Teorema 1.1, que establece que uno lo comprueba "directamente por la computadora" para $1\leq n\leq5040$, y es posible que los cálculos se ha comprobado más allá de 5040. No estoy seguro de cómo Lagarias clasifica "muy grande $n$," pero la búsqueda no arrojó ningún números más allá de 5040.

Como para el "casi todos los números enteros" y "muy escasa" una búsqueda rápida se acercó con un papel por Marek Wójtowicz, titulado "Robin de la desigualdad y la hipótesis de Riemann," lo que demuestra que el conjunto de los números enteros en $\mathbb{N}$ que satisfacer Robin de la desigualdad (y, en consecuencia, Lagarias de la desigualdad, ya que por el Lema 3.1 de Lagarias del papel) tiene natural/asintótica densidad 1 (y, por lo tanto, el conjunto de los contraejemplos se han densidad 0). Este trabajo es a partir de 2007, después de Lagarias, pero estoy seguro de que alguna forma de que el resultado era conocido por aquellos en el campo cuando Lagarias escribió su papel. Es posible que se podrían encontrar en una de las referencias, pero no estaba marcado en el papel de forma explícita.