Equivalencia de homotopía matrices triangulares superiores y toros

Question

En un antiguo examen de topología algebraica, me encontré con esta pregunta.

Dejemos que $G$ sea el conjunto de matrices triangulares superiores invertibles en $\mathbf{C}^{2\times 2}$ como un subespacio topológico de $\mathbf{C}^3\cong \mathbf{R}^6$ .

(a) Demuestre que $G$ es equivalente en homotopía al toro.

(b) Determinar el empuje hacia adelante $\det_*:\pi_1(G,\mathbf{1})\longrightarrow \pi_1(\mathbf{C}^*,1)$ del mapa determinante $\det:G\longrightarrow \mathbf{C}^*:A\longmapsto \det A$ .

(a) Ya que $G$ consiste en todas las matrices $\begin{bmatrix}a&b\\0 & c\end{bmatrix}\in\mathbf{C}^{2\times 2}$ con $a,c\neq 0$ se puede identificar con $\mathbf{C}^*\times\mathbf{C}\times\mathbf{C}^*$ . Esto puede utilizarse para demostrar que $G$ es un camino conectado.

Identificación del toroide $T$ con $S^1\times S^1$ necesitamos encontrar un $f:G\to T,g:T\to G$ tal que $f\circ g\simeq\text{id}_T$ y $g\circ f\simeq \text{id}_X$ .

Dejamos que $$f\left( \begin{bmatrix}a&b\\0&c\end{bmatrix}\right)=(\operatorname{arg}a,\operatorname{arg}b),\quad g(\theta,\phi)=\begin{bmatrix}\cos\theta+i\sin\theta & 1 \\ 0 & \cos\phi+i\sin\phi \end{bmatrix}.$$ donde $\operatorname{arg}$ envía un número complejo a su argumento en $[0,2\pi)$ .

Entonces $f\circ g=\text{id}_T$ y $g\circ f:G\to G:\begin{bmatrix}a&b \\ 0 & c\end{bmatrix}\mapsto \begin{bmatrix} a/||a|| & b/||b|| \\ 0 & c/||c|| . \end{bmatrix}$ . Desde $G$ es un camino conectado, $g\circ f\simeq \text{id}_G$ .

¿Es esto correcto?

(b) Sé que el grupo fundamental del espacio producto $\mathbf{C}^*\times\mathbf{C}\times\mathbf{C}^*$ es el producto directo de los grupos fundamentales, por lo que $\pi_1(G,\mathbf{1})=\mathbf{Z}\times\mathbf{Z}$ . (Creo que la equivalencia homotópica no puede demostrarse simplemente observando que el grupo fundamental del toro es también $\mathbf{Z}\times\mathbf{Z}$ .) Esto tiene dos generadores $(1,0)$ y $(0,1)$ . Podemos representar (¿es esto correcto?) estos en el nivel del grupo fundamental por los bucles $$\gamma_0:I\to G:t\mapsto \begin{bmatrix}e^{it} & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix},\quad \gamma_1:I\to G:s\mapsto \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & e^{is}\end{bmatrix},$$ cuyas imágenes bajo $\det_*$ son respectivamente $I\to \mathbf{C}^*:t\mapsto e^{it}$ y $I\to \mathbf{C}^*:s\mapsto e^{is}$ . Esto significa que el morfismo de empuje hacia delante viene dado por $\mathbf{Z}\times\mathbf{Z}\longrightarrow \mathbf{Z}:\begin{cases}(1,0)\longmapsto 1 \\ (0,1) \longmapsto 1 \end{cases}$ .

¿Es esto correcto?

Answer 1

Su idea para (a) es bonita, pero ¿cómo puede estar seguro de que sus mapas $f, g$ son continuas? He aquí una definición alternativa: $$f\left( \begin{bmatrix}a&b\\0&c\end{bmatrix}\right)=(a/\lvert a \rvert,c/\lvert c \rvert) \quad g(v,w)=\begin{bmatrix}v & 0 \\ 0 & w\end{bmatrix}.$$ Entonces $f \circ g = id_T$ y

$$(g \circ f) \left( \begin{bmatrix}a&b\\0&c\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}a/\lvert a \rvert&0\\0& c/\lvert c \rvert\end{bmatrix} .$$ Una homotopía $H :g \circ f \simeq id_G$ se define por $$H(\left( \begin{bmatrix}a&b\\0&c\end{bmatrix}, t \right) = \begin{bmatrix}(1-t)a/\lvert a \rvert + ta & tb\\0& (1-t)c/\lvert c \rvert + tc \end{bmatrix} .$$

Para (b) considere el mapa $h = det \circ g : T \to \mathbb C^*$ . Tenemos $h(v,w) = vw$ . $\pi_1(T,(1,1))$ tiene dos generadores dados por $\gamma_0(t) = (e^{2\pi it},1)$ y $\gamma_1(t) = (1,e^{2\pi it})$ . Por lo tanto, $(h \circ \gamma_i)(t) = e^{2\pi it}$ que es el generador de $\pi_1(\mathbb C^*,1)$ .

Por lo tanto, su respuesta a (b) es correcta.

Answer 2

En el caso de (a) se puede ver de forma bastante explícita que es equivalente en homotopía al toro simplemente manipulando los espacios implicados. Nótese que su espacio de matrices es homeomorfo al espacio $\left\{\begin{bmatrix}a&0\\0 & c\end{bmatrix}\bigg| \mathbb{C} \ni a,c \neq 0 \right\} \times \mathbb{C}$ . Esto es equivalente en homotopía a $\left\{\begin{bmatrix}a&0\\0 & c\end{bmatrix}\bigg| \mathbb{C} \ni a,c \neq 0 \right\}$ desde $\mathbb{C}$ es contraíble, y $\left\{\begin{bmatrix}a&0\\0 & c\end{bmatrix}| \mathbb{C} \ni a,c \neq 0 \right\}$ es homeomorfo a $\mathbb{C}^\times \times \mathbb{C}^\times$ que es equivalente en homotopía a $S^1 \times S^1$ .