Resolver

Question

Solucionar $$\sqrt{1 + \sqrt{1-x^{2}}}\left(\sqrt{(1+x)^{3}} + \sqrt{(1-x)^{3}} \right) = 2 + \sqrt{1-x^{2}} $$

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Mi intento:

Deje $A = \sqrt{1+x}, B = \sqrt{1-x}$ y, a continuación, por el cuadrado de la problemática de la ecuación obtenemos:

$$(1+AB)(A^{3} + B^{3})^{2} = (AB)^{2} + 4AB + 4 $$ $$ A^{6} + B^{6} + BA^{7} + A B^{7} = -2 (AB)^{4} - 2(AB)^{3} + (AB)^{2} + 4AB + 4 $$

Yo también he probado el uso de$A = (1+x), B = (1-x)$ , y algunos otros, pero ninguno resuelve el problema.

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Ahora estoy tratando de $A = (1+x)$ e $(1-x) = -(1+x) + 2 = 2 - A$, así:

$$\sqrt{1 + \sqrt{A(2-A)}}\left(\sqrt{(A)^{3}} + \sqrt{(2-A)^{3}} \right) = 2 + \sqrt{A(2-A)} $$

Answer 1

En primer lugar, esto se expresa como una ecuación a resolver (por $x$) en lugar de una identidad que se muestra.

Así que con $a=\sqrt {1+x}$ e $b=\sqrt {1-x}$ hemos $$a^2+b^2=2$$ and $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=2(1+ab)$$ and $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)(2-ab)$$

A continuación, $$\sqrt {1+ab}\cdot (a^3+b^3)=\frac {\sqrt 2}2(a+b)(a+b)(2-ab)=\sqrt 2(1+ab)(2-ab)$$

Si colocamos $c=ab$ la ecuación a resolver es entonces $$\sqrt 2(1+c)(2-c)=2+c$$ which is a straightforward quadratic in $c$. Then solve for $x$ by noting $c^2=1-x^2$

Answer 2

Gran técnica de sustitución. Observe que $\sf{A=\sqrt{1+x}}$ y $\sf{B=\sqrt{1-x}}$ lleva a $$\sf{(A^3+B^3)\sqrt{1+AB}}=2+AB$$ and since $ \ sf {A ^ 3 + B ^ 3 = (A + B) (A ^ 2-AB + B ^ 2)}$ and $ \ sf {A ^ 2 + B ^ 2 = 2 \ implica (A + B) ^ 2 = 2 (1 + AB)}$, we get $$\sf{(A+B)\sqrt{1+AB}=\frac{2+AB}{2-AB}}\implies (1+AB)\sqrt2=1+\frac{2AB}{2-AB}$$ which can be solved for $ \ sf {AB}$, and thus $ \ sf {x} $ .

Answer 3

La sustitución de $$a=\sqrt{1+x},b=\sqrt{1-x}$$ and using that $$a^2+b^2=2$$ and $$a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)$$ we get$$\sqrt{1+ab}(a+b)(2-ab)=2+ab$$ Y llegamos por el cuadrado de $$(1+ab)(2+2ab)(2-ab)^2=(2+ab)^2$$ y con $$u=ab$$ obtenemos $$2(1+u)^3(2-u)^2=(2+u)^2$$ Las soluciones son $$\left\{\left\{x\a -\sqrt{-\frac{7}{4}+\frac{3}{\sqrt{2}}-\frac{1}{4} \sqrt{97-68 \sqrt{2}}}\right\},\left\{x\a \sqrt{-\frac{7}{4}+\frac{3}{\sqrt{2}}-\frac{1}{4} \sqrt{97-68 \sqrt{2}}}\right\}\right\}$$

Answer 4

Como $-1\le x\le1$

WLOG $x=\cos2t,0\le2t\le\pi,\sin2t=\sqrt{1-x^2}$

PS

Como $$\implies\sqrt{1+\sin2t}[(2\cos^2t)^{3/2}+(2\sin^2t)^{3/2}]=2+\sin2t$ y $\sin t,\cos t\ge0$

PS

$(\sin t+\cos t)^2=1+\sin2t$$$2\sqrt2(\cos t+\sin t)(\cos^3t+\sin^3t)=2+\sin2t$ \ sin2t (\ ge0) $

como $$\sqrt2(1+\sin2t)(2-\sin2t)=2+\sin2t$

Answer 5

Primero vamos a simplificar la expresión. Suponga $a^2=1-x$ $ $ & $ $ $b^2=1+x$

Por favor, tenga en cuenta que $a^2+b^2=2$

Ahora, la ecuación se convierte $\sqrt{1+ab}(a^3+b^3)=2+ab$

$\sqrt{\frac{a^2+b^2+2ab}{2}}(a+b)(a^2+b^2-ab)=2+ab$ que simplifica aún más a

$\frac{(a+b)^2}{\sqrt{2}}(2-ab)=2+ab$

$\frac{(2+2ab)(2-ab)}{\sqrt{2}}=2+ab$

Encontrar $ab$ y el uso de la ecuación de $a^2b^2=1-x^2$

Espero que esto le sea útil!