Es cierto que $\lvert \sin z \rvert \leq 1$ todos los $z\in \mathbb{C}$?

Question

Es cierto que $\left\lvert \sin z \right \rvert \leq 1$ todos los $z \in \mathbb{C}$ ?

Creo que no es cierto, alguien me puede ayudar?

Answer 1

El teorema de Liouville dice que "Cada delimitada de la función es una constante".

Answer 2

$\sin(z) = {1 \over 2i}(e^{iz} - e^{-iz})$, por lo que para $z = -iy$ $y$ real tiene $$|\sin(iy)| = \bigg|{e^{y} - e^{-y} \over 2}\bigg|$$ Así que para grandes valores de $y$ que $|\sin(iy)|$ es mucho mayor que 1.

Answer 3

$$\sin z=z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}- \dots $$

$$\sin i=i\left( 1+\frac{1}{3!}+\frac{1}{5!}+ \cdots \right)$$

$$|\sin { i}|= 1+\frac{1}{3!}+\frac{1}{5!}+ \cdots >1$$

Answer 4

Por el teorema de Liouville el único delimitada y toda funciones son constantes funciones. Una interesante deducción del teorema de Liouville es que no constante completo de funciones debe ser ilimitado. Por lo tanto $\sin z$, $\cos z$ no ser una constante de la función debe ser ilimitado.

Answer 5

Digamos que queremos $\sin z = 2$.

$$ 2=\sen z = \frac{e^{i}-e^{-iz}}{2i} $$ si $$ 4i = e^{i}+e^{-iz}. $$ Multiplicar ambos lados por $e^{iz}$, al pasar $$ 4ie^{iz} = e^{2iz}+1. $$ I. e. $$ 4iu = u^2 + 1. $$ $$ u^2 - 4iu + 1 = 0. $$ Esta es una ecuación cuadrática $$ au^2+bu+c=0 $$ con $a=1,\quad b= -4i,\quad c=1$. El discriminante es $$ b^2-4ac = -16-4 = -20 = -2^2\cdot5. $$ Así $$ u = \frac{4i \pm2i\sqrt{5}}{2} = 2i \pm i\sqrt{5}. $$ Si queremos $$ e^{i(x+iy)}=e^{i} = i(2+\sqrt{5}) $$ donde $x$ $y$ son reales, entonces necesitamos $$ e^{-y} = 2+\sqrt{5}, \text {} y = -\log_e(2+\sqrt{5}), $$ y $$ x = \frac \pi 2 \pm 2\pi n. $$ $$ z= \frac \pi 2 -i\log_e(2+\sqrt{5}) + 2\pi n. $$

Entonces, tenemos a $\sin z = 2$.