Respuesta parcial
Pensé en una manera de transformar el problema en una integral doble. Yo no demostrar cada paso, así que no puedo decir que estoy 100% seguro de que este es el adecuado. Estoy bastante seguro de que este método funciona, pero quiero saber si he cometido un error.
Voy a añadir los cosenos juntos, en lugar de los senos. Es la misma cosa, pero coseno es un poco más fácil trabajar con él porque es una función par.
Deje $n \ge 2$ el número de funciones coseno estamos añadiendo juntos y vamos a $\tau$ ser $n$-dimensiones vector que contiene la racionalmente independiente positivos de los coeficientes. Definimos:
$$
\begin{align}
C &= [-\pi, \pi]^n && \text{(%#%#% dimensional hypercube)} \\
S &= \left\{x \in C\ \middle|\ \sum_{i=1}^n \cos(x_i) = 0\right\} && \text{(%#%#% dimensional surface}) \\
g(x) &= \sum_{i=1}^n \cos(\tau_i x) \\
l_i(x) &= ((\tau_i x + \pi) \operatorname{mod} 2\pi) - \pi && \text{(line through %#%#%)}
\end{align}
$$
Para $n$ e $n{-}1$, $C$ tiene este aspecto:
![Surface when n=2 and n=3]()
La función de $n=2$ es una línea que comienza en el origen y se va en dirección a $n=3$. Cuando se llega a un borde de $S$, sale en el borde del otro lado.
Ahora $l(x)$ siempre $\tau$. Así que para contar los ceros podemos seguir la línea de $C$ y ver cómo a menudo cruza la superficie de la $g(x) = 0$.
Porque de lo racional de la independencia, parece intuitivo que la línea va a viajar a través de cada parte de la $l(x) \in S$ con la misma frecuencia. Por lo tanto, podemos integrar sobre la superficie de la $l(x)$ a calcular con qué frecuencia $S$ es cruzado.
Me di cuenta de la siguiente fórmula para el cálculo de la frecuencia de $C$. La distancia promedio entre ceros es $S$. La función de $S$ da uno de los dos sea posible de la unidad de vectores normales a la superficie de la $f$ a $1/f$. El punto representa el producto escalar de dos vectores.
$$
f = \frac{1}{(2\pi)^n} \int_S |p(x) \cdot\tau |\ \mathrm{d}x
$$
Esto da para $p(x)$:
$$
\begin{align}
f_2 &= \frac{1}{(2\pi)^2} \cdot 2 \pi \sqrt{2} \cdot
\left(\left|
\left[\begin{smallmatrix}\frac12 \sqrt{2} \\ \frac12 \sqrt{2}\end{smallmatrix}\right] \cdot \tau
\right| +
\left|
\left[\begin{smallmatrix}\frac12 \sqrt{2} \\ -\frac12 \sqrt{2}\end{smallmatrix}\right] \cdot \tau
\right|
\right) \\
&= \frac{1}{(2\pi)^2} \cdot 2 \pi \cdot (|\tau_1 + \tau_2| + |\tau_1 - \tau_2|) \\
&= \max(\tau_1, \tau_2) / \pi
\end{align}
$$
Para mayor $S$, la superficie de la $x$ es más complejo y no es tan fácil. Debido a $n=2$ es espejo simétrico, lo podemos hacer nosotros mismos, más fácil, sólo la integración sobre la parte positiva de $n$. Pero nosotros tenemos que tomar las diferentes normales en cuenta.
$$
\begin{align}
R &= \{x \in S\ |\ \forall_i\ x_i \ge 0\} \\
I(x) &= \sum_{d \in \{-1, 1\}^n} \left| \sum_{i=1}^n d_i \cdot p_i(x) \cdot \tau_i \right| \\
f &= \frac{1}{(2\pi)^n} \int_R I(x)\ \mathrm{d}x
\end{align}
$$
Para el vector normal $S$ podemos utilizar el gradiente normalizado de $S$.
He multiplicado el todo por $S$ para obtener un positivo normal.
$$
p_i(x) = \sin(x_i) / \sqrt{\sum_{j=1}^n \sin(x_j)^2}
$$
El caso de $p(x)$
Deje $\sum_{i=1}^n \cos(x_i)$ ser un vector de 3 sin elementos negativos. La siguiente ecuación se tiene:
$$
\sum_{d \en \{-1, 1\}^3} |d \cdot u| = 4 \max (2u_1, 2u_2, 2u_3, u_1+u_2+u_3)
$$
Si combinamos la ecuación con la ecuación de la normal, obtenemos:
$$
I(x) = \frac{
4 \max \left(
\begin{array}{}
2\sin(x_1) \tau_1, \\
2\sin(x_2) \tau_2, \\
2\sin(x_3) \tau_3, \\
\sin(x_1)\tau_1+\sin(x_2) \tau_2+ \sin(x_3) \tau_3
\end{array}
\right)
}
{
\sqrt{\sin(x_1)^2 + \sin(x_2)^2 + \sin(x_3)^2}
}
$$
Para escribir la ecuación normal de dos dimensiones integral, en lugar de una superficie integral,
primero nos reemplace $-1$.
$$
\begin{align}
x_3 &= \arccos(-\cos(x_1)-\cos(x_2)) \\
\sin(x_3) &= \sqrt{1 - (\cos(x_1)+\cos(x_2))^2} \\
I(x) &= \frac{
4 \max \left(
\begin{array}{}
2\sin(x_1) \tau_1, \\
2\sin(x_2) \tau_2, \\
2 \tau_3\sqrt{1 - (\cos(x_1)+\cos(x_2))^2} , \\
\sin(x_1)\tau_1+\sin(x_2) \tau_2+ \tau_3\sqrt{1 - (\cos(x_1)+\cos(x_2))^2}
\end{array}
\right)
}
{
\sqrt{\sin(x_1)^2 + \sin(x_2)^2 + 1 - (\cos(x_1)+\cos(x_2))^2}
}
\end{align}
$$
Ahora vamos a utilizar la ecuación:
$$
\begin{align}
\int_R I(x)\ \mathrm{d}x = \int_A I(x)J(x)\ \mathrm{d}x
\end{align}
$$
Donde:
$$
\begin{align}
A &= \left\{ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix}x\ \medio|\ x \in R \right\} \\
J(x) &= \sqrt{\left(\frac{\partial x_3}{\partial x_1}\right)^2 + \left(\frac{\partial x_3}{\partial x_2}\right)^2 + 1} \\
&= \sqrt{\frac{\sin(x_1)^2+\sin(x_2)^2+1-(\cos(x_1)+\cos(x_2))^2}{1-(\cos(x_1)+\cos(x_2))^2}}
\end{align}
$$
La combinación de $n=3$ e $u$, obtenemos:
$$
I(x)J(x) = \frac{
4 \max \left(
\begin{array}{}
2\sin(x_1) \tau_1, \\
2\sin(x_2) \tau_2, \\
2 \tau_3\sqrt{1 - (\cos(x_1)+\cos(x_2))^2} , \\
\sin(x_1)\tau_1+\sin(x_2) \tau_2+ \tau_3\sqrt{1 - (\cos(x_1)+\cos(x_2))^2}
\end{array}
\right)
}
{
\sqrt{1-(\cos(x_1)+\cos(x_2))^2}
}
$$
Así que nuestra nueva integral se convierte en:
$$
\begin{align}
f_3 &= \frac{1}{(2\pi)^3} \int_A I(x)J(x)\ \mathrm{d}x \\
&= \frac{1}{(2\pi)^3} \left(\int_0^{\frac12\pi} \int_{\arccos(1-\cos(x_1))}^\pi I(x)J(x)\ \mathrm{d}x_2\ \mathrm{d}x_1 +
\int_{\frac12\pi}^\pi \int_0^{\arccos(-1-\cos(x_1))} I(x)J(x)\ \mathrm{d}x_2\ \mathrm{d}x_1 \right) \\
&= \frac{1}{4\pi^3} \int_0^{\frac12\pi} \int_{\arccos(1-\cos(x_1))}^\pi I(x)J(x)\ \mathrm{d}x_2\ \mathrm{d}x_1
\end{align}
$$
Podemos deshacernos de esas desagradables senos y cosenos mediante la integración por sustitución.
La sustitución de $x_3$ con $I$le da:
$$
\begin{align}
H(x_1, v) &= \frac{
\max \left(
\begin{array}{}
2\sin(x_1) \tau_1, \\
2\tau_2\sqrt{1-v^2}, \\
2 \tau_3\sqrt{1 - (\cos(x_1)+v)^2} , \\
\sin(x_1)\tau_1+\tau_2\sqrt{1-v^2} + \tau_3\sqrt{1 - (\cos(x_1)+v)^2}
\end{array}
\right)
}
{
\sqrt{1-(\cos(x_1)+v)^2} \cdot \sqrt{1-v^2}
} \\
f_3 &= \frac{1}{\pi^3} \int_0^{\frac12\pi} \int_{-1}^{1-\cos(x_1)} H(x_1, v) \ \mathrm{d}v\ \mathrm{d}x_1
\end{align}
$$
A continuación, la sustitución de $J$ con $x_2$le da:
$$
\begin{align}
G(u, v) &= \frac{
\max \left(
\begin{array}{}
2\tau_1\sqrt{1-u^2} , \\
2\tau_2\sqrt{1-v^2}, \\
2 \tau_3\sqrt{1 - (u+v)^2} , \\
\tau_1\sqrt{1-u^2}+\tau_2\sqrt{1-v^2} + \tau_3\sqrt{1 - (u+v)^2}
\end{array}
\right)
}
{
\sqrt{1-(u+v)^2} \cdot \sqrt{1-v^2} \cdot \sqrt{1-u^2}
} \\
f_3 &= \frac{1}{\pi^3} \int_0^1 \int_{-1}^{1-u} G(u, v) \ \mathrm{d}v\ \mathrm{d}u
\end{align}
$$
