La intuición detrás de la dependencia en$m^2$ en la teoría del campo escalar clásico Lagrangian

Question

La clásica escalar campo de la teoría de Lagrange es:

$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2} \left ( \partial_{\mu} \phi \right )^2 + \frac{1}{2} m^2 \phi^2 $$

Me siento cómodo con el hecho de que el Lagrangiano es una combinación lineal de $ \left ( \partial_{\mu} \phi \right )^2 $$ \phi^2 $. Sin embargo, estoy teniendo un tiempo difícil interpretar el hecho de que la dependencia del segundo término en $ \phi^2 $ es proporcional a $ m^2 $.
A partir de la motivación como un conjunto de clásicos springs, yo esperaría que el primer término de la exhibición de la dependencia en $ m $ y el segundo término es proporcional a $ k $. Cómo intuitivamente podemos justificar tener un $ m^2 $ delante de $ \phi^2 $? No hay una explicación distinta de las unidades de trabajo?
Gracias!

P. S. debo señalar que yo estoy usando $ \hbar = c = 1 $ unidades. Yo también suponer que $ \phi $ tiene unidades de longitud (como oscilador de desplazamiento).
P. P. S. Mientras que google esta pregunta, he encontrado cómo utilizar el análisis de Fourier de las ecuaciones de movimiento para demostrar que $ m $ representa la masa del campo escalar. Si bien esto es algo útil, estoy realmente en busca de una explicación de por qué no podemos simplemente extender la dependencia de la $ m $ de nuestra intuición como un conjunto interconectado de resortes.

Answer 1

Creo que estás confundiendo dos masas diferentes: la masa de los muelles y de la masa de la esfera quanta.

De inicio, junto con las masas-en-los manantiales, de la masa $M=1$ y la constante del resorte $k$. Imaginemos que los manantiales se encuentran en un 2d de celosía, y que oscila sólo en un 3 de dirección.

Cuantización y tomar el continuum límite, y se obtiene una teoría cuántica de campos que describe los valores de un campo que vive en las $\mathbb{R}^2$. Este QFT ha quanta, que tienen masa $m = \sqrt{k}$. Estas partículas se not_ el original de masas-en-primavera, sin embargo; son colectiva de las oscilaciones de los muelles. Su masa gobierna lo rápido que se mueva alrededor de en $\mathbb{R}^2$, no se cómo de rápido se mueve perpendicular al plano 2d.

Tenga en cuenta que usted no tienen que (y no debe!) creo que de la original de los resortes que oscila en el mismo espacio que el entramado de puntos. Los resortes son parte del ejemplo, porque queríamos un sistema descrito por un número en cada punto en el espacio.

Answer 2

Cómo intuitiviely podemos justificar tener un $m^2$ plazo.No hay una explicación distinta de las unidades de trabajo .

En el mejor de esto es la mitad de la respuesta, y no puede ser lo que estás buscando, o que ya son conscientes de. Pero si soy incorrecto, mis disculpas y espero que alguien le diga a nosotros dos más sobre el tema.

De la memoria, la masa en campos escalares se asocia siempre con cuadrática campo de términos, en mis estudios hasta el momento. Así que una vez que encuentre un $\theta ^2$, si hay una masa plazo, de ser asociado con eso.

Espero que consiga un más sofisticado respuesta, porque esto es sólo a partir de la memoria, pero la Wikipedia parece apoyo.

De Campos Escalares Wikipedia

La mayoría de los escalares básicos del campo de la teoría es la teoría lineal. A través de la descomposición de Fourier de los campos, que representa los modos normales de una infinidad de osciladores acoplados (ver fonones). La acción de la libre relativista escalar la teoría del campo es entonces

$$ {\begin{aligned}{\mathcal {S}}&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x~\mathrm {d} t{\mathcal {L}}\\&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x~\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right]\\[6pt]&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x~\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}\delta ^{ij}\partial _{i}\phi \partial _{j}\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right],\end{aligned}}$$

donde ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ es conocida como una de Lagrange densidad; $d4−1x ≡ dx ⋅ dy ⋅ dz ≡ dx1 ⋅ dx2 ⋅ dx3$ para las tres coordenadas espaciales; $\delta_{ij}$ es la función delta de Kronecker; y $\partial\rho  = \partial/\partial x\rho $ para el ρ-th coordinar $x\rho$.

Este es un ejemplo de una ecuación cuadrática de la acción, ya que cada uno de los términos es cuadrática en el campo, $\psi$ El término proporcional a $m^2$ es a veces conocido como una masa plazo, debido a su posterior interpretación, en el cuantificada versión de esta teoría, en términos de masa de las partículas.

La ecuación de movimiento para esta teoría se obtiene por extremizing la acción anterior. Toma la siguiente forma lineal, en $\psi$,

$$ \eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi +m^{2}\phi =\partial _{t}^{2}\phi -\nabla ^{2}\phi +m^{2}\phi =0~,$$

donde $∇^2$ es el operador de Laplace. Este es el de Klein–Gordon ecuación, con la interpretación clásica de campo ecuación, en lugar de como una mecánica cuántica ecuación de onda.